MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 304

Prosta przechodząca przez $A(9,0)$ i $B(0,-1)$ ma współczynnik kierunkowy $1/9$, więc szukana styczna ma współczynnik $-9$. Liczymy

$f'(x)=\frac{3(1+2x)}{(1-2x)^3}.$

Po podstawieniu $t=1-2x$ równanie $f'(x)=-9$ przyjmuje postać $(t+1)(3t^2-3t+2)=0$. Trójmian ma ujemny wyróżnik, zatem jedynym rozwiązaniem jest $t=-1$, czyli $x=1$. Ponieważ $f(1)=3$, styczna ma równanie $y-3=-9(x-1)$.

Wykres przecina osie w punktach $(6,0)$ oraz $(0,2)$. Ponieważ

$f'(x)=\frac{3}{(x-3)^2},$

w obu tych punktach pochodna jest równa $1/3$. Styczne są więc równoległe; ich równania to

$y=\frac13x-2\quad\text{oraz}\quad y=\frac13x+2.$

Po zapisaniu ich w postaci $x-3y-6=0$ i $x-3y+6=0$ otrzymujemy odległość $12/\sqrt{10}=6\sqrt{10}/5$.

Część zależna od $x$ ma pochodną

\frac{3x^2+2x-1}{(3x+1)^2}.$$ Warunek styczności do prostej o współczynniku $1/4$ daje $3x^2+2x-5=0$. Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $x=1$. W tym punkcie ułamek w definicji funkcji znika, a rzędna prostej wynosi $1/4$, zatem $$\cos2\alpha-\frac12\sin\alpha=\frac14.$$ Dla $s=\sin\alpha$ otrzymujemy $8s^2+2s-3=0$. Ponieważ $\alpha\in(0;\pi)$, mamy $s>0$, więc $s=1/2$.

Niech $x_0$ będzie odciętą punktu przecięcia. Współczynniki kierunkowe stycznych wynoszą $f'(x_0)=x_0$ oraz $g'(x_0)=-1/x_0^2$. Ich iloczyn ma być równy $-1$, stąd $-1/x_0=-1$ i $x_0=1$.

Warunek przecięcia wykresów daje wtedy $\frac12+a=1$, czyli $a=1/2$.

Po dzieleniu mamy $f(x)=x+3+4/(x-3)$, zatem

$f'(x)=1-\frac4{(x-3)^2}.$

Pochodna znika dla $x=1$ i $x=5$. Zmiana jej znaku pokazuje, że na lewej gałęzi maksimum jest w $A=(1,2)$, a na prawej minimum w $B=(5,10)$. Środek odcinka $AB$ to $S=(3,6)$.

Ponadto $f'(2)=-3$, więc prosta przez $S$, równoległa do wskazanej stycznej, spełnia $y-6=-3(x-3)$.

Z warunku $P(1,-2)$ należącego do wykresu dostajemy

$\frac{a-3}{1+b}=-2,\qquad\text{czyli}\qquad a+2b=1.$

Prosta $3x+y+5=0$ ma współczynnik $-3$, więc prostopadła do niej styczna ma współczynnik $1/3$. Po użyciu pierwszego warunku pochodna w punkcie $x=1$ upraszcza się do $(a+4)/(b+1)$. Stąd $3a-b=-11$. Rozwiązanie układu tych dwóch równań to $a=-3$, $b=2$.

Niech dodatnie odcięte punktów przecięcia prostej z osiami będą równe $a$ i $b$. Ponieważ prosta przechodzi przez $(3,4)$,

$\frac3a+\frac4b=1,\qquad b=\frac{4a}{a-3},\quad a>3.$

Pole ograniczonego trójkąta jest równe

$P(a)=\frac{ab}{2}=\frac{2a^2}{a-3}.$

Pochodna ma znak wyrażenia $a-6$, zatem minimum jest dla $a=6$. Wtedy $b=8$, a równanie prostej to $x/6+y/8=1$.

Wysokością trójkąta opuszczoną na $AB$ jest dodatnia wartość $f(x)$, więc jego pole wynosi $3f(x)$. Liczymy

$f'(x)=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}.$

Na przedziale $\langle-2;1\rangle$ funkcja rośnie do $x=-1$, a potem maleje. Porównanie z końcami przedziału potwierdza maksimum w $x=-1$. Mamy $f(-1)=3/2$.

Odległość punktu $(x,f(x))$ od prostej jest równa $|x-f(x)+2|/\sqrt2$.

a) Dla $f(x)=1-x^2$ wyrażenie pod wartością bezwzględną to $x^2+x+1>0$. Jego minimum jest dla $x=-1/2$, a wtedy $f(x)=3/4$.

b) Tutaj $f(x)=2-1/(x-1)$, więc minimalizujemy wartość bezwzględną $h(x)=x+1/(x-1)$. Równanie $h(x)=0$ nie ma rozwiązania rzeczywistego, a $h'(x)=1-1/(x-1)^2$ znika dla $x=0$ i $x=2$. Porównanie obu gałęzi dziedziny daje mniejszą odległość dla $x=0$; wtedy $f(0)=3$.