MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 302

Badamy znak pochodnej na składowych dziedziny.

a) $f'(x)=3(x+2)(x-4)$, więc funkcja maleje między $-2$ i $4$, a rośnie poza tym przedziałem.

b) $f'(x)=-15(x^2+2)(x^2-1)$: znak jest dodatni dla $|x|<1$ i ujemny dla $|x|>1$.

c) $D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$ i $f'(x)=(x^2-9)/x^2$. Pochodna jest dodatnia dla $|x|>3$.

d) $f'(x)=32x(4x^2-9)^3$. Kolejne punkty podziału to $-3/2,0,3/2$.

e) $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ i $f'(x)=2x^3(x-2)/(x-1)^3$. Uwzględniamy zera $0,2$ i przerwę $1$.

f) Po dzieleniu $f(x)=x+2-1/(x+3)$, więc $f'(x)=1+1/(x+3)^2>0$ na obu składowych dziedziny.

g) $D_f=\mathbb R\setminus\{-2\}$ i $f'(x)=(x-1)(2x+1)(x+3)/(x+2)^2$. Punkty podziału to $-3,-2,-1/2,1$.

h) $D_f=\langle0;\infty)$ i, poza zerami pierwiastka, $f'(x)=(x-2)(3x-2)/(2\sqrt{x(x-2)^2})$. Znak zmienia się przy $2/3$ i w punkcie ostrym $2$.

Wyznaczamy zera pochodnej i sprawdzamy zmianę jej znaku.

a) $f'(x)=3(x^2-3)$: maksimum jest dla $x=-\sqrt3$, a minimum dla $x=\sqrt3$.

b) $f'(x)=4x(x^2-3)$: minima są w $x=\pm\sqrt3$, maksimum w $x=0$.

c) $f'(x)=2(1-x^2)/(1+x^2)^2$: minimum w $-1$, maksimum w $1$.

d) $f'(x)=x(x-2)/(x-1)^2$: maksimum w $0$, minimum w $2$.

e) Po zsumowaniu $f(x)=2x^2/(x^2-9)$ i $f'(x)=-36x/(x^2-9)^2$; maksimum jest w $0$.

f) $f'(x)=-16/x^3-2/(x-6)^3$. Równanie $f'(x)=0$ po wyciągnięciu pierwiastka sześciennego daje $2/x=-1/(x-6)$, czyli $x=4$; znak zmienia się z ujemnego na dodatni.

Porównujemy wartości w punktach krytycznych i na końcach przedziału.

a) $f'(x)=5x^2(x-1)(x-3)$. W $\langle-1;2\rangle$ sprawdzamy $-1,0,1,2$; najmniejsza wartość to $f(-1)=-12$, największa $f(1)=0$.

b) Znak pochodnej na $\langle0;3\rangle$ zmienia się z ujemnego na dodatni w $x=2$. Wartości istotne to $f(0)=f(3)=0$ i $f(2)=-8$.

c) $f'(x)=2x(x-4)/(2x-4)^2$. Na zadanym przedziale maksimum jest w $x=0$, a porównanie końców daje minimum w $x=-3$.

d) $f'(x)=(-x^2+2\sqrt3x+1)/(x^2+1)^2$. Zera to $\sqrt3-2$ i $\sqrt3+2$; porównanie z końcami wskazuje odpowiednio minimum i maksimum.

a) $f'(x)=12[x^3+(3x-6)^3]$. Ponieważ funkcja sześcienna jest różnowartościowa, równanie pochodnej daje $x=-(3x-6)$, czyli $x=3/2$. Jest to minimum, a $f(3/2)=81/4$.

b) $f(x)=\sqrt{(x-1)^2+2}$, więc minimum $\sqrt2$ jest dla $x=1$.

c) $f'(x)=x^3/4+2(x+1)^3$ ma jedno zero $x=-2/3$; zmiana znaku daje minimum $1/54$.

d) $f(x)=\sqrt{(x^2-1)^2+1}\ge1$. Równość zachodzi dla $x=\pm1$.

a) Przy $t=x^2\ge0$ mamy $f=2t-t^2=1-(t-1)^2$. Największa wartość to $1$, a w dół funkcja jest nieograniczona.

b) $f=[x/(1+x)]^2\ge0$. Wyrażenie $x/(1+x)$ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste poza $1$, ale po podniesieniu do kwadratu każda liczba nieujemna jest osiągana (wartość $1$ daje także iloraz $-1$).

c) Funkcja jest nieujemna i ma zero w $x=2$. Dla $x\le2$ pochodna części bez modułu ma licznik $x^2-4x-1$; największa wartość występuje dla $x=2-\sqrt5$ i wynosi $1+\sqrt5/2$. Maksimum drugiej gałęzi jest mniejsze.

a) Dla $h(x)=2x^3-6x$ mamy $h'(x)=6(x^2-1)$. Maksimum lokalne $h(-1)=4$ i minimum lokalne $h(1)=-4$ wyznaczają liczbę przecięć z prostą $y=a$.

b) Dla $k(x)=x^4-4x^2+3$ punkty krytyczne to $-\sqrt2,0,\sqrt2$, a wartości odpowiednio $-1,3,-1$. Funkcja dąży do $\infty$ po obu stronach, więc liczba przecięć zależy od położenia $a$ względem $-1$ i $3$.

a) Dla $a=0$ funkcja jest liniowa i nie ma ekstremum. Dla $a\ne0$ jest parabolą z jednym ekstremum.

b) $f'(x)=x(3x+2a)$. Gdy $a=0$, jedyny punkt stacjonarny nie zmienia znaku pochodnej. Gdy $a\ne0$, są dwa różne zera i dwie zmiany znaku.

c) $f'(x)=x(3ax-2)$. Dla $a=0$ pozostaje parabola $-x^2$ z jednym ekstremum; dla $a\ne0$ są dwa różne punkty krytyczne i dwa ekstrema.

Z warunku $6x+y-1=0$ mamy $y=1-6x$. Minimalizujemy więc dla $x>0$

$F(x)=x^3+2(1-6x)=x^3-12x+2.$

$F'(x)=3x^2-12$ znika dla dodatniego $x=2$. Pochodna jest przed nim ujemna, a po nim dodatnia, więc jest to minimum. $F(2)=8-24+2=-14$.

Podstawiamy $y=-x-3$ i otrzymujemy $F(x)=x^4+(x+3)^2$. Pochodna $F'(x)=4x^3+2x+6$ ma zero $x=-1$. Ponieważ $F''(x)=12x^2+2>0$, jest to jedyne minimum globalne. Wtedy $y=-2$ i $F(-1)=1+4=5$.

Niech boki mają długości $x$ i $18/x$, gdzie $x>0$. Obwód $L(x)=2(x+18/x)$ ma pochodną $L'(x)=2(1-18/x^2)$. Zmiana znaku z ujemnego na dodatni następuje dla $x=3\sqrt2$. Drugi bok ma wtedy tę samą długość.