MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 301

Mamy $f'(x)=2x^3$.

a) Prosta dana ma nachylenie $-2$, więc $2x_0^3=-2$ i $x_0=-1$. Równanie stycznej to $y=-2x-5/2$.

b) Nachylenie prostej prostopadłej do $y=-4x+1$ wynosi $1/4$. Stąd $x_0=1/2$ i $y=\frac14x-\frac{35}{32}$.

c) Styczna w punkcie $x_0=t$ ma wyraz wolny $f(t)-f'(t)t=-\frac32t^4-1$. Warunek przejścia przez $(0,-5/2)$ daje $t^4=1$, czyli $t=\pm1$. Powstają dwie styczne.

Nachylenie szukanej stycznej to $\tan150^\circ=-\sqrt3/3$. Ponieważ $f'(x)=-3/x^3$, równanie $-3/x_0^3=-\sqrt3/3$ daje $x_0=\sqrt3$. Wtedy $f(x_0)=-1/2$. Z postaci punkt–nachylenie:

$y+\frac12=-\frac{\sqrt3}{3}(x-\sqrt3),$

czyli $y=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac12$.

Niech $L(x)=2x-6$.

Dla $f$ wybieramy $x_0=3/2$. Wtedy $f(3/2)=-3=L(3/2)$. Ponadto

$f'(x)=-\frac23\frac{x(x-2)}{(x-1)^2},\qquad f'(3/2)=2=L'.$

Zatem prosta jest styczna do wykresu $f$ w $P_f(3/2,-3)$.

Dla $g(x)=x^3-6x^2+11x-6$ mamy $g(3)=0=L(3)$ oraz $g'(x)=3x^2-12x+11$, więc $g'(3)=2=L'$. Prosta jest także styczna do wykresu $g$ w $P_g(3,0)$, co dowodzi tezy.

W punkcie styczności $x_0$ nachylenie prostej musi być równe $f'(x_0)=4x_0^3$, a jej wartość równa $x_0^4+m$.

a) Z $4x_0^3=-4$ mamy $x_0=-1$. Prosta ma tam wartość $4$, więc $1+m=4$ i $m=3$.

b) Z $4x_0^3=1/2$ dostajemy $x_0=1/2$. Wartość prostej to $1/8$, zatem $1/16+m=1/8$ i $m=1/16$.

c) Nachylenie zerowe daje $x_0=0$. Warunek $f(0)=-2$ daje $m=-2$.