MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 300

Stosujemy regułę iloczynu i upraszczamy.

a) $f'(x)=3(x+2)+(3x-1)=6x+5$; wartości: $-1,-7$.

b) $f'(x)=2x(x^2+x)+(x^2-4)(2x+1)=4x^3+3x^2-8x-4$; wartości: $3,-8$.

c) $f'(x)=-8x(x^3+1)+3x^2(1-4x^2)=-20x^4+3x^2-8x$; wartości: $-9,-292$.

d) $f(x)=(x^2-1)^2$, więc $f'(x)=4x(x^2-1)=4x^3-4x$; wartości: $0,-24$.

Po wykluczeniu zer mianowników stosujemy regułę ilorazu lub zapis potęgowy. Dziedzina pochodnej jest w każdym podpunkcie taka sama jak dziedzina funkcji.

a) $D=\mathbb R\setminus\{-4\}$, $f'(x)=-2/(x+4)^2$.

b) $D=\mathbb R\setminus\{3\}$, $f'(x)=-12/(x-3)^2$.

c) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$, $f'(x)=12x^3+5/x^2$.

d) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$, $f'(x)=-6/x^3-1/(x-1)^2$.

e) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$, $f'(x)=-(x^2+12x+4)/(x^2-4)^2$.

f) $D=\mathbb R$, $f'(x)=(x^4+9x^2+6x)/(x^2+3)^2$.

g) $D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$, $f'(x)=(-x^6+3x^4-2x^3-1)/(x^4+x)^2$.

h) $D=\mathbb R\setminus\{0,1/4\}$, $f'(x)=-6/(4x-1)^2+2/x^3$.

i) $D=\mathbb R\setminus\{-2,-1,0\}$, $f'(x)=-(8x^3+2)/(x^4+x)^2-3x^2/(x^3+8)^2$.

Stosujemy reguły iloczynu i łańcuchową; z dziedziny pochodnej usuwamy także zera wyrażeń stojących pod pierwiastkiem w mianowniku wzoru pochodnej.

a) $D_f=\langle0;\infty)$, $D_{f'}=(0;\infty)$ i $f'(x)=(5x^2-1)/\sqrt{2x}$.

b) $D_f=(-\infty;1\rangle\cup(2;\infty)$, $D_{f'}=(-\infty;1)\cup(2;\infty)$ oraz $f'(x)=-\frac1{2(x-2)^2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}$.

c) $D_f=\mathbb R$, $D_{f'}=\mathbb R\setminus\{0\}$ i $f'(x)=\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{x^4+2x^2}}$.

d) $D_f=D_{f'}=\mathbb R$ i $f'(x)=\frac{3x}{(x^2+4)^2}\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2+1}}$.

e) $D_f=\langle0;\infty)$, $D_{f'}=(0;\infty)$ i $f'(x)=\frac{16x\sqrt x+1}{4\sqrt{4x^3+x\sqrt x}}$.

f) $D_f=\langle0;4)\cup(4;\infty)$, $D_{f'}=(0;4)\cup(4;\infty)$ i $f'(x)=\frac{x-4\sqrt x+2}{2\sqrt x(2-\sqrt x)^2}$.

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy $f'(x_0)=\tan\alpha$.

a) W otoczeniu $x_0>0$, $f(x)=2\sqrt3x^2$, więc $f'(1/2)=2\sqrt3$ i $\alpha=60^\circ$.

b) $f'(x)=3/\sqrt{6x}$, zatem $f'(9/2)=1/\sqrt3$ i $\alpha=30^\circ$.

c) $f'(x)=2x-6-9/x^2$, więc $f'(3)=-1$ i $\alpha=135^\circ$.

d) $f'(x)=6(x^2-x)^5(2x-1)$, zatem $f'(1/2)=0$ i $\alpha=0^\circ$.

Liczymy $\tan\alpha=f'(x_0)$ i wybieramy kąt nachylenia prostej z przedziału $[0^\circ;180^\circ)$.

a) $f'(x)=2x+3+8/x^2$, więc $f'(2)=9$ i $\alpha\approx84^\circ$.

b) $f'(x)=x^2(x^2+3)/(x^2+1)^2$; dla $x^2=5$ daje to $10/9$, czyli $\alpha\approx48^\circ$.

c) $f'(x)=x/\sqrt{x^2+1}$, zatem $f'(-1)=-\sqrt2/2$ i $\alpha\approx145^\circ$.

d) $f'(x)=2x(x^2/4-1)^3$, więc dla $x=-1/2$ otrzymujemy $3375/4096$ i $\alpha\approx39^\circ$.

Dla każdego podpunktu liczymy $y_0=f(x_0)$ oraz $m=f'(x_0)$ i stosujemy $y-y_0=m(x-x_0)$. Otrzymujemy kolejno pary $(x_0,y_0,m)$:

a) $(-1,-1,-4)$; b) $(2,-4,6)$; c) $(1/2,3,-2)$; d) $(-4,-9,7)$; e) $(-2,1,0)$; f) $(1,3/2,1/4)$; g) $(-2,3,-4/3)$; h) $(1,3,1)$.

Po podstawieniu tych danych dostajemy równania podane w odpowiedzi.

Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe, a następnie nachylenia $f'(x_0)$.

a) $x(x+4)=0$. Dla $f'(x)=2x+4$ nachylenia w $0,-4$ to $4,-4$.

b) $x(8-x^3)=0$, więc $x=0,2$. Pochodna $8-4x^3$ daje nachylenia $8,-24$.

c) Miejsca zerowe to $-1,1$ (mianownik nie znika). Reguła ilorazu daje w nich nachylenia odpowiednio $-2$ i $2/3$.