MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 299

Stosujemy definicję $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$.

a) Iloraz różnicowy to $(2h+h^2)/h=2+h$, więc $f'(1)=2$.

b) Otrzymujemy $(16h+2h^2)/h=16+2h$, zatem $f'(4)=16$.

c) $\frac{4/(2+h)-2}{h}=-\frac2{2+h}\to-1$.

d) $\frac{-2/(1+h)+2}{h}=\frac2{1+h}\to2$.

a) Iloraz różnicowy w zerze to $|2h|/h$. Dąży on do $2$ z prawej i do $-2$ z lewej, więc granica nie istnieje.

b) Dla $f(x)=x|x|$ iloraz różnicowy ma postać $h|h|/h=|h|$, a jego granica przy $h\to0$ wynosi $0$.

Różniczkujemy każdy składnik potęgi.

a) $f'(x)=6x-4$, więc $f'(0)=-4$, $f'(1)=2$.

b) $f'(x)=-3x^2+8x-3$, więc $f'(0)=-3$, $f'(1)=2$.

c) $f'(x)=2x^3-x^2-12x+1$, więc $f'(0)=1$, $f'(1)=-10$.

d) $f'(x)=5x^4+6x^2+x$, więc $f'(0)=0$, $f'(1)=12$.