MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 298

Porównujemy najwyższe potęgi $x$.

a) Po podzieleniu przez $x^2$ granica wynosi $6/(-2)=-3$.

b) Po podzieleniu przez $x^4$ otrzymujemy $2/4=1/2$.

c) Mianownik ma stopień wyższy od licznika, więc granica to $0$.

d) Iloraz zachowuje się jak $x^4/(-2x^2)=-x^2/2$, zatem dąży do $-\infty$.

e) $x^3(1-8/x-9/x^2)\to\infty$.

f) $x^3(2+6/x+1/x^3)\to-\infty$ dla $x\to-\infty$.

W każdej granicy licznik pozostaje dodatni w dostatecznie małym jednostronnym sąsiedztwie, a znak mianownika odczytujemy z kierunku dojścia.

a) $x-4\to0^+$, więc granica to $\infty$.

b) $x-4\to0^-$, więc granica to $-\infty$.

c) $x-2\to1$, a $x-3\to0^-$, zatem $-\infty$.

d) $x+4\to9$, a $5-x\to0^-$, zatem $-\infty$.

e) $(x-2)(x+1)\to0^-$ dla $x\to2^-$, zatem $-\infty$.

f) $4x-3-x^2=-(x-1)(x-3)\to0^-$ dla $x\to3^+$, zatem $-\infty$.

a) Oba wzory są ciągłe wewnątrz swoich przedziałów. W punkcie łączenia $x=0$ mamy $f(0)=1$, $\lim_{x\to0^-}(-x^2+1)=1$ i $\lim_{x\to0^+}(x+1)=1$. Funkcja jest więc ciągła na $\mathbb R$.

b) W punkcie $x=1$ wartość i granica lewostronna wynoszą $0$, natomiast $\lim_{x\to1^+}2/x=2$. Granice jednostronne są różne, więc funkcja jest nieciągła w $1$; poza tym punktem jest ciągła.

a) Ciągłość w $x=1$ wymaga $a-1=4$ oraz $6/(1+1)+b=4$. Stąd $a=5$ i $b=1$.

b) W punkcie $x=2$ musi zachodzić $4+a=3$ i $b/(2+2)=3$. Otrzymujemy $a=-1$ i $b=12$.

a) Dla $x\ne\pm2$ wyrażenie upraszcza się do $-1/(x+2)$. W punkcie $x=2$ granica wynosi $-1/4=f(2)$, więc funkcja jest tam ciągła. W punkcie $x=-2$ granica jest niewłaściwa, mimo przypisanej wartości $1/4$.

b) Dla $x=2$ obie granice i wartość wynoszą $-5$. Dla $x=7$ granica lewostronna wynosi $7^2-9=40$, natomiast $f(7)=(7^2+1)/7=50/7$. Funkcja jest więc nieciągła tylko w $7$.

a) Ciągłość w $0$ daje $1=a=a^2$, zatem $a=1$. Wtedy lewa część jest prostą $y=x+1$, a prawa parabolą $y=(x-1)^2$. W otoczeniu $0$ wartości po obu stronach są mniejsze od $1$, więc $f(0)=1$ jest maksimum lokalnym. Wierzchołek paraboli daje minimum $f(1)=0$.

b) W punkcie $-1$ warunek ciągłości ma postać $2-a=a+1$, więc $a=1/2$. Dla $x<-1$ pochodna $4x+1/2$ jest ujemna, a dla $x\ge-1$ pochodna funkcji $(1/2-x)/(x+2)$ wynosi $-5/[2(x+2)^2]<0$. Funkcja jest ściśle malejąca i nie ma ekstremów.

Obie funkcje są ciągłe na podanych przedziałach.

a) $f(1)=1-5+7=3>0$, natomiast $f(4)=64-80+28-7\log_2 4=-2<0$. Z twierdzenia Darboux istnieje $c\in(1;4)$, dla którego $f(c)=0$.

b) Dla $g(x)=\frac{x+5}{x+2}-3^x$ mamy $g(-1)=4-1/3=11/3>0$ i $g(1)=2-3=-1<0$. Zatem również w $(-1;1)$ istnieje co najmniej jedno miejsce zerowe.

a) Wielomian $h(x)=x^3-3x+1$ jest ciągły, a $h(0)=1>0$ i $h(1)=-1<0$. Z twierdzenia Darboux ma zero w $(0;1)$.

b) Wielomian $k(x)=-x^4+4x+3$ jest ciągły. Ponieważ $k(1)=6>0$, a $k(2)=-5<0$, istnieje $c\in(1;2)$ spełniające $k(c)=0$.

Oba wielomiany są ściśle rosnące, bo ich pochodne wynoszą odpowiednio $3x^2+4>0$ i $3x^2+2>0$, więc każde równanie ma tylko jeden pierwiastek.

a) Dla $p(x)=x^3+4x-1$ mamy $p(0)=-1$ i $p(1/4)=1/64>0$, zatem pierwiastek leży w $(0;1/4)$.

b) Dla $q(x)=x^3+2x+1$ zachodzi $q(-1/2)=-1/8<0$ oraz $q(-1/4)=31/64>0$, więc pierwiastek leży w $(-1/2;-1/4)$.