MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 297

Tam, gdzie po podstawieniu powstaje symbol $0/0$, rozkładamy wielomiany i skracamy wspólny czynnik.

a) Bezpośrednio: $(4^3-9)/(16-5)=55/11=5$.

b) $((-3)^3-1)/(2-(-3)^2)=(-28)/(-7)=4$.

c) $\frac{(x-2)(x+2)}{2-x}=-(x+2)\to-4$.

d) $\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x}\to-2$.

e) $\frac{(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+4)}\to\frac58$.

f) $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\to\frac65$.

g) $\frac{-(x-1)(x-3)}{(x-2)(x-3)}\to-2$.

h) $\frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x^2-2x+4)}\to-\frac14$.

i) Licznik to $(x+1)^2(x-2)$, a mianownik $(x+1)^2(2x-1)$, więc granica wynosi $1$.

Usuwamy niewymierności przez pomnożenie przez wyrażenia sprzężone.

a) $\frac{\sqrt x-3}{x-9}=\frac1{\sqrt x+3}\to\frac16$.

b) Ponieważ $x-3=(1-\sqrt{4-x})(1+\sqrt{4-x})$, $\frac{1-\sqrt{4-x}}{3-x}=-\frac1{1+\sqrt{4-x}}\to-\frac12$.

c) Mamy $\sqrt{2-x}-1=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}$ oraz $2-\sqrt{5-x}=\frac{x-1}{2+\sqrt{5-x}}$. Iloraz dąży więc do $-\frac{2+2}{1+1}=-2$.