MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 295

Korzystamy ze wzoru $\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2$.

a) $\bar x=18/9=2$, $\overline{x^2}=42/9=14/3$, więc $\sigma^2=2/3$.

b) $\bar x=30/10=3$, $\overline{x^2}=110/10=11$, więc $\sigma^2=2$.

c) $\bar x=150/5=30$, $\overline{x^2}=5500/5=1100$, więc $\sigma^2=200$.

d) $\bar x=4/7$, $\overline{x^2}=60/7$, zatem $\sigma^2=60/7-16/49=404/49$.

Z definicji $\overline{x^2}=\frac{x_1^2+\cdots+x_k^2}{k}$, więc $x_1^2+\cdots+x_k^2=k\overline{x^2}$. Analogicznie $y_1^2+\cdots+y_l^2=l\overline{y^2}$.

Średnia kwadratów wszystkich $k+l$ liczb jest zatem równa

Średnia całej klasy wynosi $\bar x=(12\cdot4+8\cdot4{,}2)/20=4{,}08$.

Łączymy wariancje, uwzględniając przesunięcie średnich grup:

Średnia łączna to $\bar x=(10\cdot4000+20\cdot5000)/30=4666{,}67$ zł.

Wariancja obu grup razem wynosi

a) Pomnożenie każdej płacy przez $1{,}05$ mnoży przez tę samą liczbę zarówno średnią, jak i odchylenie. Otrzymujemy $6300$ zł i $525$ zł.

b) Dodanie każdemu tej samej kwoty $200$ zł zwiększa średnią do $6200$ zł, ale nie zmienia odchyleń od średniej, więc $\sigma=500$ zł.

Z warunku średniej suma ośmiu liczb wynosi $32$. Znane liczby sumują się do $25$, zatem $x+y=7$. Wariancja $1{,}5^2$ oznacza, że suma kwadratów odchyleń od $4$ jest równa $8\cdot2{,}25=18$. Znane składniki dają $13$, więc

$(x-4)^2+(y-4)^2=5.$

Po rozwinięciu i użyciu $x+y=7$ dostajemy $x^2+y^2=29$, a stąd $xy=(49-29)/2=10$. Liczby są pierwiastkami równania $t^2-7t+10=0$, czyli $2$ i $5$. Warunek $x<y$ ustala kolejność.

Niech $p$ będzie udziałem czwórek. Dla danych przyjmujących tylko wartości $3$ i $4$ wariancja wynosi $p(1-p)(4-3)^2=p(1-p)$. Zatem $p(1-p)=0{,}16$, skąd $p=0{,}2$ albo $p=0{,}8$. Czwórek jest więcej niż trójek, więc $p=0{,}8$. Spośród $10$ ocen jest zatem $8$ czwórek.