MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 293

W obu rodzinach suma dwunastu odczytów wynosi $120$, więc obie średnie są równe $10\ \mathrm{m^3}$.

a) Dla Kowalskich suma kwadratów odchyleń od $10$ wynosi $80$, zatem $\sigma_K=\sqrt{80/12}=\sqrt{20/3}\approx2{,}58\ \mathrm{m^3}$.

b) Dla Nowaków suma kwadratów odchyleń wynosi $216$, więc $\sigma_N=\sqrt{216/12}=3\sqrt2\approx4{,}24\ \mathrm{m^3}$.

c) Dla wszystkich $24$ pomiarów średnia nadal wynosi $10$, a $\sigma=\sqrt{(80+216)/24}=\sqrt{37/3}\approx3{,}51\ \mathrm{m^3}$.

W każdej klasie ważona suma ocen podzielona przez liczbę uczniów daje $4$. Liczymy więc wariancje jako średnie kwadratów odchyleń od $4$:

$\sigma_a^2=\frac{2\cdot4+6\cdot1+6\cdot1+2\cdot4}{24}=\frac76,$ $\sigma_b^2=\frac{2\cdot4+7\cdot1+7\cdot1+2\cdot4}{22}=\frac{15}{11},$ $\sigma_c^2=\frac{4\cdot9+1\cdot4+2\cdot1+6\cdot1+5\cdot4}{21}=\frac{68}{21}.$

Stąd $\sigma_a\approx1{,}08$, $\sigma_b\approx1{,}17$ i $\sigma_c\approx1{,}80$; największe rozproszenie jest w klasie IVc.

Średnia dla całej firmy jest średnią ważoną:

$\bar x=0{,}2\cdot6000+0{,}8\cdot4000=4400\ \text{zł}.$

Do wariancji łącznej wliczamy rozproszenie wewnątrz oddziałów oraz różnice ich średnich od średniej całej firmy:

+0{,}8\bigl(200^2+(4000-4400)^2\bigr)=872000.$$ Zatem $\sigma=\sqrt{872000}\approx933{,}8\ \text{zł}$.