MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 292

a) W klasie Ia jest $8+5+2+3=18$ uczniów, a suma odpowiedzi wynosi $2\cdot8+3\cdot5+4\cdot2+5\cdot3=54$. Zatem $\bar x=54/18=3$. Po uporządkowaniu pozycji 9. i 10. są równe $3$, więc $M=3$; najczęściej występuje $2$, zatem $D=2$.

b) Dla klasy Ib liczebność to $25$, a suma to $2\cdot4+3\cdot10+4\cdot4+5\cdot7=89$. Stąd $\bar x=89/25=3{,}56$. Pozycja 13. ma wartość $3$, a najczęstszy wynik także wynosi $3$, więc $M=D=3$.

c) Łącznie jest $43$ uczniów i suma $54+89=143$, czyli $\bar x=143/43\approx3{,}33$. Wspólne liczebności dla $2,3,4,5$ wynoszą odpowiednio $12,15,6,10$; pozycja 22. oraz najczęstsza wartość to $3$.

Suma dotychczasowych ocen wynosi $5+3+4+4+4+2+3=25$. Jeśli ostatnią oceną jest $x$, to do zaokrąglenia średniej do $4$ potrzeba co najmniej

$\frac{25+x}{8}\ge 3{,}5.$

Stąd $25+x\ge28$, więc $x\ge3$. Ocena $3$ daje średnią $3{,}5$, która po zaokrągleniu daje ocenę dobrą.

Niech $a$ i $b$ oznaczają liczby rzutów, w których wypadły odpowiednio $2$ i $3$ oczka. Z pozostałych słupków otrzymujemy $15$ rzutów i sumę oczek $1\cdot4+4\cdot1+5\cdot4+6\cdot6=64$. Warunek średniej $4$ daje

$\frac{2a+3b+64}{a+b+15}=4,$

czyli $2a+b=4$. Liczby $a,b$ są nieujemne i parzyste, więc $(a,b)=(2,0)$ albo $(0,4)$. Łączna liczba rzutów to odpowiednio $17$ lub $19$.

Średnia ważona ma postać $\frac{\sum x_iw_i}{\sum w_i}$.

a) $\frac{2\cdot4+3\cdot5+5\cdot1+10\cdot2}{4+5+1+2}=\frac{48}{12}=4$.

b) Wagi sumują się do $1$, zatem $9\cdot0{,}2+2\cdot0{,}4+6\cdot0{,}25+8\cdot0{,}05+16\cdot0{,}1=6{,}1$.

Średnie w trzech kategoriach wynoszą

\bar x_S=\frac{4+3+3+5+2}{5}=\frac{17}{5},\qquad \bar x_L=\frac{4+3}{2}=\frac72.$$ Średnia ważona to $0{,}5\cdot\frac{11}{3}+0{,}3\cdot\frac{17}{5}+0{,}2\cdot\frac72=\frac{533}{150}\approx3{,}55$. Po zaokrągleniu daje to $4$.