MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 29 — rozwiązania zadań

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Trójkąt musi mieć dwa wierzchołki na jednej prostej i jeden na drugiej. Zatem liczba trójkątów wynosi

$\binom42\binom51+\binom41\binom52=6\cdot5+4\cdot10=70.$

Nieosobliwy czworokąt musi mieć po dwa wierzchołki na każdej prostej. Jest ich

$\binom42\binom52=6\cdot10=60.$

Odpowiedź

$70$ trójkątów i $60$ czworokątów.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z wierszy współczynników dwumianowych $1,4,6,4,1$ oraz $1,7,21,35,35,21,7,1$ . Dla różnicy znaki kolejnych wyrazów są naprzemienne.

Odpowiedź

a) $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ .

b) $a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$ .

c) $a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$ .

d) $a^7-7a^6b+21a^5b^2-35a^4b^3+35a^3b^4-21a^2b^5+7ab^6-b^7$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy współczynnik otrzymujemy jako sumę dwóch stojących nad nim w poprzednim wierszu trójkąta Pascala. Dostajemy:

n=9:\quad 1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,

n=10:\quad 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1.

Wstawiamy te współczynniki do wzoru Newtona.

Odpowiedź

Dla $n=9$ wiersz ma postać $1,9,36,84,126,126,84,36,9,1$ i

(a+b)^9=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5 +84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9.

Dla $n=10$ wiersz ma postać $1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$ i

(a+b)^{10}=a^{10}+10a^9b+45a^8b^2+120a^7b^3+210a^6b^4 +252a^5b^5+210a^4b^6+120a^3b^7+45a^2b^8+10ab^9+b^{10}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy potęgi dwumianów i łączymy wyrazy wymierne oraz niewymierne.

a) $(\sqrt3+1)^4=9+12\sqrt3+18+4\sqrt3+1=28+16\sqrt3$ .

b) $(2-\sqrt2)^4=16-32\sqrt2+48-16\sqrt2+4=68-48\sqrt2$ .

c) Ze wzoru dla potęgi piątej otrzymujemy $32+80\sqrt2+160+80\sqrt2+40+4\sqrt2=232+164\sqrt2$ .

d) Analogicznie $9\sqrt3-45+30\sqrt3-30+5\sqrt3-1=44\sqrt3-76$ .

Odpowiedź

a) $28+16\sqrt3$ ; b) $68-48\sqrt2$ ; c) $232+164\sqrt2$ ; d) $44\sqrt3-76$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie stosujemy wzór Newtona, uwzględniając potęgi obu składników i naprzemienne znaki dla różnicy.

Odpowiedź

a) $x^4+4x^3+6x^2+4x+1$ .

b) $x^4-8x^3+24x^2-32x+16$ .

c) $16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$ .

d) $16x^4-16x^3+6x^2-x+\dfrac1{16}$ .

e) $x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32$ .

f) $32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$ .

g) $x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$ .

h) $x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wybieramy w rozwinięciu ten wyraz, którego potęga $x$ jest równa $6$ .

a) $(\sqrt2)^6=8$ .

b) $\binom76(\sqrt2)^6(-1)=-56$ .

c) $\binom86 2^6(\sqrt2)^2=3584$ .

d) $\binom96\left(-\frac12\right)^3=-\frac{21}{2}$ .

e) $\binom43 4^3\cdot\frac12=128$ .

f) $\binom63 4^3\left(-\frac12\right)^3=-160$ .

g) $\binom63 8^3\left(\frac14\right)^3=160$ .

h) $\binom83 8^3\left(-\frac14\right)^5=-28$ .

Odpowiedź

a) $8$ ; b) $-56$ ; c) $3584$ ; d) $-\dfrac{21}{2}$ ; e) $128$ ; f) $-160$ ; g) $160$ ; h) $-28$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wzorze dwumianowym Newtona

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k

podstawiamy $a=b=1$ . Otrzymujemy

2^n=(1+1)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom nk,

czyli dokładnie podaną równość.

Odpowiedź

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 17

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wzorze Newtona dla $(1-1)^n$ wyrazy o parzystym indeksie mają znak dodatni, a o nieparzystym ujemny:

0=(1-1)^n =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk.

Dla nieparzystego $n$ po jednej stronie pozostają indeksy parzyste $0,2,\ldots,n-1$ , a po drugiej nieparzyste $1,3,\ldots,n$ . Przeniesienie sumy wyrazów ujemnych na prawą stronę daje tezę.

Odpowiedź

$\displaystyle\sum_{\substack{0\le k\le n\\ k\text{ parzyste}}}\binom nk =\sum_{\substack{0\le k\le n\\ k\text{ nieparzyste}}}\binom nk$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 18

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odległość wzdłuż osi od $O$ do $A$ wynosi co najmniej $5+4=9$ . Skoro łamana ma długość dokładnie $9$ , nie może zawierać ruchu w lewo ani w dół. Składa się więc z pięciu jednostkowych kroków w prawo i czterech w górę.

Każdą łamaną wyznacza wybór czterech spośród dziewięciu pozycji, na których wykonujemy krok w górę. Zatem liczba łamanych wynosi

$\binom94=126.$

Odpowiedź

$126$ łamanych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem