MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 28

Korzystamy ze wzoru $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ i symetrii $\binom nk=\binom n{n-k}$. Otrzymujemy kolejno:

W kombinacji kolejność nie ma znaczenia. Pary i trójki wypisujemy w stałej kolejności elementów, a każda kombinacja czteroelementowa w b) powstaje przez pominięcie jednego elementu.

Kolejność wyciągniętych krawatów nie ma znaczenia, więc:

W klasie jest $18-10=8$ chłopców.

a) Wybieramy niezależnie dwóch chłopców i dwie dziewczęta:

$\binom82\binom{10}{2}=28\cdot45=1260.$

b) Wybieramy jednego chłopca i trzy dziewczęta:

$\binom81\binom{10}{3}=8\cdot120=960.$

a) Student wybiera nieuporządkowany zbiór czterech pytań: $\binom64=15$.

b) Wybory z obu części są niezależne, więc liczba sposobów wynosi

$\binom86\binom{10}{9}=28\cdot10=280.$

a) Każde powitanie odpowiada jednej parze osób, zatem było $\binom{10}{2}=45$ powitań.

b) Dla $n$ uczestników liczba partii wynosi $\binom n2$. Rozwiązujemy

$\frac{n(n-1)}2=55,qquad n(n-1)=110.$

Ponieważ $11\cdot10=110$, uczestników było $11$.

Każda prosta odpowiada parze wierzchołków, więc

$\binom n2=66,qquad n(n-1)=132.$

Ponieważ $12\cdot11=132$, mamy $n=12$. Miara kąta wewnętrznego foremnego $n$-kąta wynosi

Trzy różne punkty okręgu nie są współliniowe, więc każdy wybór trzech punktów wyznacza trójkąt.

a) $\binom{10}{3}=120$.

b) Rozwiązujemy $\binom n3=84$. Ponieważ $\binom93=\frac{9\cdot8\cdot7}{6}=84$, otrzymujemy $n=9$.

Czworokąt wyznacza wybór czterech spośród sześciu punktów: $\binom64=15$.

Wielokąt ma od trzech do sześciu wierzchołków, zatem wszystkich jest