MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 287

Pierwszą urnę wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac16$, a drugą z prawdopodobieństwem $\frac56$. Prawdopodobieństwa wylosowania dwóch czarnych kul wynoszą

Każdą monetę wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac12$.

a) Dla pierwszej monety prawdopodobieństwo dokładnie dwóch orłów to $\frac38$, a dla drugiej $\binom32\left(\frac13\right)^2\frac23=\frac29.$ Zatem $P(M_1\mid 2O)=\frac{\frac12\cdot\frac38}{\frac12\cdot\frac38+\frac12\cdot\frac29}=\frac{27}{43}.$

b) Prawdopodobieństwo dokładnie dwóch reszek wynosi dla pierwszej monety $\frac38$, a dla drugiej $\binom32\left(\frac23\right)^2\frac13=\frac49.$ Stąd

a) Brak orła oznacza cztery reszki, więc $P=(\frac12)^4=\frac1{16}$.

b) Dokładnie trzy pozycje dla orłów wybieramy na $\binom43$ sposoby, zatem $P=\binom43(\frac12)^4=\frac14$.

a) Ze schematu Bernoulliego $P(X=3)=\binom{10}{3}\left(\frac12\right)^{10}=\frac{15}{128}.$

b) Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego:

Sukces, czyli wynik mniejszy od $3$, ma prawdopodobieństwo $p=\frac13$.

a) $P(X=2)=\binom62\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^4=\frac{80}{243}.$

b)

Co najmniej dziewięć trafień oznacza: wszyscy trafili albo dokładnie jeden z dziesięciu rzutów był niecelny. Rozróżniamy, kto chybił:

Prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w $n$ rzutach wynosi $1-0{,}2^n$. Szukamy $1-0{,}2^n>0{,}999,qquad 0{,}2^n<0{,}001.$ Ponieważ $0{,}2^4=0{,}0016$, a $0{,}2^5=0{,}00032$, najmniejszą liczbą rzutów jest $5$.