MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 286

Skoro pierwsza kula była biała i losujemy bez zwracania, w urnie pozostało $6$ kul białych i $8$ czarnych. Zatem $P(\text{druga czarna}\mid\text{pierwsza biała})=\frac8{14}=\frac47.$

Pod warunkiem z treści dwa pierwsze wyniki należą do zbioru $\{2,4,6\}$. Wraz z dowolnym trzecim wynikiem daje to $3\cdot3\cdot6=54$ równoprawdopodobne trójki.

Sumę $10$ otrzymujemy dla $(2,2,6),\ (2,4,4),\ (4,2,4),\ (2,6,2),\ (6,2,2),\ (4,4,2),$ czyli w sześciu przypadkach. Stąd $P=\frac6{54}=\frac19$.

Warunek mówi, że dokładnie dwie spośród sześciu kul trafiły do pierwszej szuflady. Każda para kul jest wtedy jednakowo prawdopodobna. Czarna kula znajduje się w tej parze z prawdopodobieństwem $\frac26=\frac13$, więc pozostaje w drugiej szufladzie z prawdopodobieństwem $1-\frac13=\frac23.$

Niech $N$ oznacza wylosowaną liczbę rzutów. Każda z wartości $1,2,3$ ma prawdopodobieństwo $\frac13$. Warunkowe prawdopodobieństwa dokładnie jednej szóstki wynoszą: $P(A\mid N=1)=\frac16,$ $P(A\mid N=2)=\binom21\frac16\frac56=\frac5{18},$ $P(A\mid N=3)=\binom31\frac16\left(\frac56\right)^2=\frac{25}{72}.$ Zatem

Niech $W$ oznacza wadliwy wyrób. Ze wzoru Bayesa

Pierwszą urnę wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac46=\frac23$, a drugą z prawdopodobieństwem $\frac26=\frac13$. Prawdopodobieństwa czarnej kuli wynoszą odpowiednio $\frac16$ i $\frac39=\frac13$. Zatem $P(U_2\mid C)=\frac{\frac13\cdot\frac13}{\frac23\cdot\frac16+\frac13\cdot\frac13}=\frac12.$