MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 288

Liczb dwucyfrowych jest $90$. Wielokrotnościami $10$ są liczby $10,20,\ldots,90$. Odrzucamy spośród nich $30,60,90$, które są podzielne przez $3$. Zostaje sześć wyników, więc

Każda para osób wymienia jeden uścisk, zatem $\binom n2=66,qquad n(n-1)=132.$ Równanie $n^2-n-132=0$ ma dodatnie rozwiązanie $n=12$.

Najpierw liczymy wszystkie sześciowyrazowe zapisy, także zaczynające się zerem. Miejsce cyfry $5$ wybieramy na $6$ sposobów, dwa miejsca cyfr $7$ na $\binom52$ sposobów, a pozostałe trzy miejsca wypełniamy jedną z ośmiu cyfr innych niż $5$ i $7$: $6\binom52\cdot8^3=30\,720.$ Odejmujemy zapisy zaczynające się zerem. Wtedy w pięciu dalszych miejscach wybieramy pozycję cyfry $5$, pozycje dwóch cyfr $7$ i dwie pozostałe cyfry: $5\binom42\cdot8^2=1920.$ Zatem liczb jest $30\,720-1920=28\,800$.

Wśród $90$ liczb dwucyfrowych jest $45$ parzystych i $45$ nieparzystych. Suma jest parzysta, gdy obie liczby mają tę samą parzystość. Zatem

Uczeń zdaje, gdy wylosuje dwa albo trzy zadania, które potrafi rozwiązać.

Dla $10$ znanych zadań:

Uszkodzonych jest $0{,}16\cdot25=4$, zatem dobrych żarówek jest $21$. Wszystkich par jest $\binom{25}2=300$.

a) $P=\frac{\binom{21}2}{\binom{25}2}=\frac{210}{300}=\frac7{10}.$

b) Odejmujemy zdarzenie wylosowania dwóch uszkodzonych:

Wszystkich permutacji cyfr jest $8!$.

a) Cyfry $1,2,3$ traktujemy jako jeden blok. Sześć obiektów ustawiamy na $6!$ sposobów, a cyfry w bloku na $3!$ sposobów. Zatem $P=\frac{6!\,3!}{8!}=\frac3{28}.$

b) Pozycje cyfr $1$ i $2$ muszą różnić się o $4$. Są cztery pary pozycji i dwie kolejności cyfr. Pozostałe cyfry ustawiamy na $6!$ sposobów: $P=\frac{4\cdot2\cdot6!}{8!}=\frac17.$

Uporządkowanych par różnych współczynników jest $5\cdot4=20$.

a) Funkcja jest rosnąca na całej prostej tylko wtedy, gdy jest liniowa ze współczynnikiem kierunkowym dodatnim: $a=0$ i $b\in\{1,2\}$. Zatem $P=\frac2{20}=\frac1{10}$.

b) Symetria względem osi $OY$ wymaga $b=0$. Współczynnik $a$ może być jedną z czterech liczb niezerowych, więc $P=\frac4{20}=\frac15$.

c) Dla funkcji kwadratowej oś ma równanie $x=-\frac b{2a}$. Warunek osi $x=1$ daje $b=-2a$. Dopuszczalne pary to $(1,-2)$ i $(-1,2)$, więc $P=\frac2{20}=\frac1{10}$.

a) Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwa wynoszą $\frac1n\quad\text{i}\quad\frac2{2n}=\frac1n,$ więc są jednakowe.

b) Na pierwszej loterii kupno dwóch losów daje prawdopodobieństwo $\frac2n$. Na drugiej