MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 285

Każda z trzech osób może wybrać jedno z pięciu pięter, więc jest $5^3=125$ jednakowo prawdopodobnych wyników.

a) Różne piętra można przydzielić na $5\cdot4\cdot3=60$ sposobów, zatem $P=\frac{60}{125}=\frac{12}{25}$.

b) Wybieramy parę osób, wspólne piętro i inne piętro dla trzeciej osoby: $\binom32\cdot5\cdot4=60$. Stąd także $P=\frac{12}{25}$.

Wszystkich ustawień piętnastu różnych osób jest $15!$.

a) Najpierw ustawiamy $7$ dziewcząt. Powstaje osiem luk, a ośmiu chłopców musi zająć po jednej z nich. Zatem $P=\frac{7!\,8!}{15!}=\frac1{6435}.$

b) Traktujemy siedem dziewcząt jako jeden blok. Dziewczęta można ustawić wewnątrz bloku na $7!$ sposobów, a blok i ośmiu chłopców na $9!$ sposobów. Otrzymujemy $P=\frac{9!\,7!}{15!}=\frac1{715}.$

Gdy dwie wskazane osoby skleimy w blok, ustawień z nimi obok siebie jest $2\cdot9!$. Zatem $P(\text{obok})=\frac{2\cdot9!}{10!}=\frac15,$ a prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi $1-\frac15=\frac45$.

a) Sklejamy uporządkowany blok $(2,8)$. Mamy $9!$ ustawień spośród $10!$, więc $P=\frac1{10}$.

b) Dla każdej kolejności, w której $2$ jest przed $8$, istnieje odpowiadająca jej kolejność z zamienionymi miejscami tych liczb. Zatem $P=\frac12$.

Wszystkich czteroosobowych grup jest $\binom{14}{4}=1001$.

a) Grup z dwiema dziewczynami i dwoma chłopcami jest $\binom82\binom62=420$, więc $P=\frac{420}{1001}=\frac{60}{143}$.

b) Grup z jedną dziewczyną i trzema chłopcami jest $\binom81\binom63=160$, więc $P=\frac{160}{1001}$.

Zdarzeniem przeciwnym jest zakup pięciu losów przegrywających. Jego prawdopodobieństwo wynosi $\frac{\binom85}{\binom{10}5}=\frac{56}{252}=\frac29.$ Zatem szukane prawdopodobieństwo to $1-\frac29=\frac79$.

Wszystkich trójek kul jest $\binom{12}{3}=220$.

a) Odejmujemy zdarzenie wylosowania trzech zielonych: $P=1-\frac{\binom53}{\binom{12}3}=1-\frac{10}{220}=\frac{21}{22}.$

b) Zielonych jest więcej, gdy wypadną dwie zielone i jedna biała albo trzy zielone: $P=\frac{\binom52\binom71+\binom53}{220}=\frac{80}{220}=\frac4{11}.$

a) Wśród $\binom82=28$ par butów cztery są właściwymi parami, więc $P=\frac4{28}=\frac17$.

b) Zdarzenie przeciwne polega na wybraniu po jednym bucie z każdej z czterech par. Można to zrobić na $2^4=16$ sposobów, a wszystkich czwórek jest $\binom84=70$. Zatem $P=1-\frac{16}{70}=\frac{27}{35}.$

Wszystkich wyników jest $6^5$.

a) Wybieramy wspólną liczbę oczek: $\frac6{6^5}=\frac1{1296}$.

b) Wybieramy wartość pary, jej dwa miejsca i uporządkowane trzy różne wartości spośród pozostałych pięciu: $\frac{6\binom52\cdot5\cdot4\cdot3}{6^5}=\frac{25}{54}.$

c) Wybieramy wartość trójki, jej miejsca oraz dwie różne pozostałe wartości: $\frac{6\binom53\cdot5\cdot4}{6^5}=\frac{25}{162}.$

d) Wybieramy wartość trójki, inną wartość pary i miejsca trójki: $\frac{6\cdot5\binom53}{6^5}=\frac{25}{648}.$