MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 284

Pierwszą cyfrą musi być $1$. Liczba złożona z zer i jedynek jest podzielna przez $3$ dokładnie wtedy, gdy liczba jedynek jest wielokrotnością $3$.

a) Jedynki muszą zająć łącznie trzy miejsca, więc wybieramy jeszcze dwa z pozostałych trzech: $\binom32=3$.

b) Analogicznie $\binom42=6$.

c) Łączna liczba jedynek może wynosić $3$ albo $6$, zatem $\binom72+\binom75=21+21=42.$

Zdarzenie $A$ obejmuje wyniki z zerem lub jedną reszką, $B$ — z co najwyżej dwiema reszkami, a $C$ tylko wynik $RRR$.

a) Zdarzenia $A$ i $C$ oraz $B$ i $C$ wykluczają się. Zdarzeniami przeciwnymi są $B$ i $C$, ponieważ $B'=C$.

b) $B\cup C=\Omega$, więc jest zdarzeniem pewnym. Zdarzenie $A\cap C$ jest niemożliwe. Natomiast $A'\cap B$ oznacza dokładnie dwie reszki, więc nie jest ani pewne, ani niemożliwe.

Wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę numerów kul.

a) Bez zwracania $\Omega=\{(i,j):i,j\in\{1,2,3,4\},\ i\ne j\},$ więc $|\Omega|=12$. Mamy $A=\{(1,3),(3,1)\}$, a $A'=\Omega\setminus A$. Stąd $P(A)=\frac2{12}=\frac16,\qquad P(A')=\frac56.$

b) Ze zwracaniem $\Omega=\{1,2,3,4\}^2$, więc $|\Omega|=16$. Teraz $A=\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)\},\qquad A'=\Omega\setminus A,$ zatem $P(A)=\frac14$ i $P(A')=\frac34$.

Wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest $12$.

a) Wielokrotności $2$ są sześć, więc $P=\frac6{12}=\frac12$.

b) Wielokrotności $3$ są cztery, więc $P=\frac4{12}=\frac13$.

c) Wielokrotności $2$ lub $3$ jest $6+4-2=8$, ponieważ dwie liczby są podzielne przez $6$. Zatem $P=\frac8{12}=\frac23$.

Przestrzeń ma $6^2=36$ uporządkowanych wyników.

a) Iloczyn $6$ dają pary $(1,6),(6,1),(2,3),(3,2)$, więc $P=\frac4{36}=\frac19$.

b) W pierwszym rzucie potrzeba wyniku większego od $1$ — pięć możliwości — a w drugim większego od $2$ — cztery możliwości. Stąd $P=\frac{5\cdot4}{36}=\frac59$.

Wszystkich kolejności jest $4!=24$.

a) Połowa permutacji kończy się cyfrą parzystą, więc $P=\frac12$.

b) Liczba $1234$ jest najmniejszą permutacją tych cyfr. Każda z pozostałych $23$ permutacji jest od niej większa, zatem $P=\frac{23}{24}$.

Bez zwracania prawdopodobieństwo wynosi $\frac58\cdot\frac47\cdot\frac36=\frac5{28}.$ Ze zwracaniem jest równe $\left(\frac58\right)^3=\frac{125}{512}.$ Ponieważ $\frac{125}{512}>\frac5{28}$, korzystniejsze jest losowanie ze zwracaniem.

a) Prawdopodobieństwo wybrania dwóch dziewcząt wynosi $\frac{12}{20}\cdot\frac6{16}=\frac9{40}.$

b) Dodajemy dwa rozłączne przypadki: