MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 283

Na cyfrę setek mamy $2$ możliwości, na cyfrę dziesiątek $3$, a na cyfrę jedności $7$. Z reguły mnożenia otrzymujemy $2\cdot3\cdot7=42.$ Liczba jest nieparzysta, gdy jej ostatnią cyfrą jest jedna z liczb $1,3,5,7$, więc takich liczb jest $2\cdot3\cdot4=24.$

Wynik jest uporządkowaną parą liczb zdobytych bramek.

a) Każda liczba należy do zbioru $\{0,1,2,3\}$, zatem wyników jest $4^2=16$.

b) Każda liczba należy do zbioru $\{0,1,2,3,4\}$, zatem wyników jest $5^2=25$.

Kolejność wszystkich osób może być dowolną permutacją. Dla czterech osób jest to $4!=24$, a dla sześciu $6!=720$.

a) Numery można rozdzielić pomiędzy dziewięć osób na $9!=362\,880$ sposobów.

b) Pięć dziewcząt otrzymuje w dowolnej kolejności pięć numerów nieparzystych, a czterech chłopców — cztery numery parzyste. Liczba przydziałów wynosi $5!\cdot4!=120\cdot24=2880.$

a) Trzy różne litery wybieramy kolejno na $4\cdot3\cdot2$ sposoby, a dwie różne cyfry na $10\cdot9$ sposobów. Zatem $4\cdot3\cdot2\cdot10\cdot9=2160.$

b) Przy dopuszczonych powtórzeniach otrzymujemy $4^3\cdot10^2=6400.$

a) Dozwolonych jest osiem cyfr $2,3,\ldots,9$, bez powtórzeń, więc liczb jest $8\cdot7\cdot6=336$.

b) Dozwolonych jest siedem cyfr $3,4,\ldots,9$, zatem liczb jest $7\cdot6\cdot5\cdot4=840$.

c) Pierwszą cyfrę wybieramy na $9$ sposobów. Na kolejnych miejscach mamy odpowiednio $9,8,7,6$ możliwości, ponieważ można już użyć zera. Otrzymujemy $9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=27\,216.$

a) Na każdym z pięciu miejsc mamy $3$ możliwości, więc $3^5=243$.

b) Na każdym miejscu można umieścić jedną z dziewięciu cyfr $1,\ldots,9$, więc $9^4=6561$.

c) Cyfrę setek wybieramy spośród siedmiu cyfr $1,2,3,4,5,6,8$, cyfrę dziesiątek spośród ośmiu dozwolonych cyfr, a cyfrę jedności spośród pięciu cyfr parzystych. Zatem $7\cdot8\cdot5=280$.

Długopisy są rozróżnialne. Wystarczy wybrać pięć spośród dziesięciu dla pierwszej siostry; pozostałe dostanie druga: $\binom{10}{5}=252.$

Ciąg jest wyznaczony przez wybór czterech spośród siedmiu pozycji dla jedynek. Pozostałe pozycje zajmą zera, więc $\binom74=35.$