Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 27

rozdział 1. Rachunek prawdopodobienstwa · temat „\*1.5. Kombinacje” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 7

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wzorze dwumianowym Newtona podstawiamy $-b$ zamiast $b$ :

(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}(-b)^k =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk a^{n-k}b^k.

Znaki kolejnych wyrazów są więc naprzemienne. Ostatni wyraz ma znak $(-1)^n$ : dodatni dla parzystego $n$ i ujemny dla nieparzystego $n$ . Przedostatni ma znak $(-1)^{n-1}$ , czyli odpowiednio ujemny albo dodatni. Otrzymujemy dokładnie obie postacie podane w treści.

Odpowiedź

$(a-b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk a^{n-k}b^k$ ; dla parzystego $n$ ostatni znak jest dodatni, a dla nieparzystego ujemny.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 8

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

\begin{aligned} \binom nk+\binom n{k+1} &=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\ &=\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\ &=\frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}\\ &=\frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}\\ &=\binom{n+1}{k+1}. \end{aligned}

To dowodzi wzoru dla $k<n$ .

Odpowiedź

$\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 9

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla potęgi szóstej współczynniki dwumianowe to $1,6,15,20,15,6,1$ , a dla ósmej $1,8,28,56,70,56,28,8,1$ . W rozwinięciach z $-b$ znaki kolejnych wyrazów są naprzemienne.

Odpowiedź

a) $a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6.$

b) $a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6.$

c) $a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8.$

d) $a^8-8a^7b+28a^6b^2-56a^5b^3+70a^4b^4-56a^3b^5+28a^2b^6-8ab^7+b^8.$

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem