MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 26

Korzystamy ze wzoru $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ i symetrii $\binom nk=\binom n{n-k}$.

a) Dla $n=4$ otrzymujemy kolejno $1$, $4$, $6$, $4$, $1$.

b) Dla $n=5$ otrzymujemy kolejno $1$, $5$, $10$, $10$, $5$, $1$.

Podstawiamy odpowiednie wartości do wzoru $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$:

a) $\binom n0=\dfrac{n!}{0!n!}=1$.

b) $\binom n1=\dfrac{n!}{1!(n-1)!}=n$.

c) $\binom n{n-1}=\dfrac{n!}{(n-1)!1!}=n$.

d) $\binom nn=\dfrac{n!}{n!0!}=1$.

Każdemu $k$-elementowemu podzbiorowi przyporządkowujemy jego dopełnienie. Dopełnienie ma $n-k$ elementów, a operacja jest odwracalna, więc jest to bijekcja między obiema rodzinami kombinacji.

Również rachunkowo:

$$\binom n{n-k} =\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} =\frac{n!}{(n-k)!k!} =\binom nk.$$

Kolejność osób w delegacji nie ma znaczenia, więc stosujemy kombinacje:

$$\binom73=\frac{7!}{3!4!}=35,qquad \binom74=\frac{7!}{4!3!}=35.$$