MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 269

a) Kąt środkowy $80^\circ$ wyznacza łuk, na którym oparto każdy z trzech zaznaczonych kątów wpisanych. Każdy ma zatem $40^\circ$.

b) Kąt $30^\circ$ wyznacza łuk $AC$ o mierze $60^\circ$. Równoległe cięciwy $AB$ i $CD$ odcinają równe łuki $AC$ i $BD$, więc łuk $BD$ także ma $60^\circ$ i $\alpha=30^\circ$. Ponieważ $AB$ jest średnicą, łuk $AD$ przez $C$ ma $120^\circ$, czyli $\beta=120^\circ$. Punkt $D$ jest środkiem łuku $BC$, zatem promień $OD$ jest prostopadły do cięciwy $BC$ i $\gamma=90^\circ$.

c) Kąty wpisane oparte na tym samym łuku dają $\gamma=40^\circ$. Ponieważ zaznaczony odcinek jest średnicą, drugi łuk półokręgu ma $100^\circ$, zatem $\alpha=50^\circ$. Kąt między przecinającymi się cięciwami jest połową sumy odpowiednich łuków $120^\circ$ i $80^\circ$, więc $\beta=100^\circ$.

Niech $O$ będzie środkiem okręgu. Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej $AP$. Oznaczmy $\angle ACB=\alpha$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę $\angle AOB=2\alpha$.

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, więc

$\angle OAB=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha.$

Z prostopadłości $OA\perp AP$ wynika $\angle PAB=90^\circ-\angle OAB=\alpha=\angle ACB$, co dowodzi tezy.

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą odpowiedni kąt wpisany ma $58^\circ$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma więc $116^\circ$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, dlatego oba pozostałe kąty mają po $(180^\circ-116^\circ)/2=32^\circ$.

a) Odcinek przechodzący przez $O$ jest średnicą. Kąt między styczną i cięciwą ma $62^\circ$, więc oparty na tej samej cięciwie kąt wpisany $\alpha$ także ma $62^\circ$.

b) Kąt $25^\circ$ między styczną i górną cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie. Z zaznaczonego kąta środkowego $70^\circ$ otrzymujemy drugi właściwy łuk. Suma łuków opartych na kącie $\alpha$ ma $240^\circ$, stąd $\alpha=120^\circ$.

c) Średnica jest przeciwprostokątną trójkąta wpisanego. Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą daje drugi kąt o mierze $36^\circ$, więc $\alpha=90^\circ-36^\circ=54^\circ$.

Miara środkowa łuku w radianach wynosi $\theta=s/r=(\pi/2)/3=\pi/6=30^\circ$. Kąt między styczną i cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym łuku, czyli połowie kąta środkowego.

a) Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi $(n-2)180^\circ$. Po podzieleniu przez liczbę równych kątów dostajemy dla $n=10$ wartość $144^\circ$, a dla $n=12$ wartość $150^\circ$.

b) Z jednego wierzchołka wypukłego $n$-kąta można poprowadzić przekątne dzielące go na $n-2$ trójkąty. Suma kątów wewnętrznych wynosi więc $(n-2)180^\circ$. W wielokącie foremnym wszystkie $n$ kątów są równe, zatem każdy ma miarę $\frac{n-2}{n}\cdot180^\circ$, co należało wykazać.

Korzystamy z równania $(n-2)180^\circ=S$.

a) Dla $S=540^\circ$ otrzymujemy $n=5$, więc bok ma długość $20/5=4$.

b) Dla $S=1440^\circ$ otrzymujemy $n=10$, więc bok ma długość $20/10=2$.