MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 270

a) Dla sześciokąta foremnego o boku $1$ promień okręgu opisanego wynosi $R=1$, a wpisanego $r=\sqrt3/2$. Różnica pól jest więc równa

$\pi(R^2-r^2)=\pi\left(1-\frac34\right)=\frac\pi4.$

b) W dowolnym wielokącie foremnym promień $R$ do wierzchołka, apotema $r$ i połowa boku $a/2$ tworzą trójkąt prostokątny. Zatem $R^2-r^2=a^2/4$, a różnica pól kół wynosi

$\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)=\frac\pi4a^2.$

Teza została wykazana.

Wysokości są prostopadłe do dwóch przeciwległych boków rombu. Kąt ostry między prostymi prostopadłymi jest równy kątowi ostremu między tymi bokami. Ma więc taką samą miarę jak kąt ostry rombu.

Połówki przekątnych mają długości $8$ i $4$ oraz tworzą kąt $60^\circ$. Boki równoległoboku są sumą i różnicą tych wektorów. Z twierdzenia cosinusów ich kwadraty wynoszą

$8^2+4^2+2\cdot8\cdot4\cos60^\circ=112,$ $8^2+4^2-2\cdot8\cdot4\cos60^\circ=48.$

Boki mają więc długości $4\sqrt7$ i $4\sqrt3$.

Punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli je w stosunku równym stosunkowi długości podstaw. Dłuższa i krótsza podstawa pozostają zatem w stosunku $3:2$. Dla dłuższej podstawy równej $9$ krótsza ma długość $9\cdot2/3$.

Niech podstawy mają długości $x$ i $3x$. Poziomy rzut przekątnej trapezu równoramiennego ma długość $(x+3x)/2=2x$. Zatem

$(2x)^2+8^2=(8\sqrt5)^2,$

skąd $x=8$. Podstawy mają długości $8$ i $24$, a ramię $\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2$. Pole wynosi $\frac{8+24}{2}\cdot8=128$.

a) Ustawmy trapez o podstawach $a,b$ w punktach $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $D=(u,h)$, $C=(u+b,h)$. Środki ramion mają współrzędne