MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 268

Porównujemy odległość środków $d=2\sqrt5$ z $R+r$ i $|R-r|$.

a) $3-\sqrt5<2\sqrt5<3+\sqrt5$, więc okręgi się przecinają.

b) $2\sqrt5>1+2$, więc są rozłączne zewnętrznie.

c) $2+2(\sqrt5-1)=2\sqrt5=d$, więc są styczne zewnętrznie.

d) $|3{,}5-1{,}5|<2\sqrt5<3{,}5+1{,}5$, więc się przecinają.

Promień $x+3$ musi być dodatni.

a) Przy styczności zewnętrznej suma promieni jest równa odległości środków: $2+x+3=6$, zatem $x=1$.

b) Przy styczności wewnętrznej zachodzi $|x+3-2|=6$. Spośród rozwiązań tylko $x=5$ daje dodatni promień $x+3$.

Dwa punkty wspólne występują dla $|R-r|<x<R+r$, jeden przy równości, a zero poza tym zakresem. Ponieważ $x$ jest dodatnią odległością:

a) $|5-1|=4$ i $5+1=6$.

b) Różnica promieni wynosi $\sqrt3-(2-\sqrt3)=2\sqrt3-2$, a ich suma jest równa $2$.

Przeciwprostokątna ma długość $3\sqrt5$, więc odległość środków okręgów jest wysokością

$CD=\frac{5\cdot2\sqrt5}{3\sqrt5}=\frac{10}{3}.$

Porównujemy tę liczbę z $r+1$ i $|r-1|$. Okręgi przecinają się dla $7/3<r<13/3$, są styczne dla wartości brzegowych, a poza nimi są rozłączne.

Środki obu okręgów leżą na dwusiecznej kąta. Ich promienie są proporcjonalne do odległości od wierzchołka, zatem pozostają w stosunku $6:14=3:7$. Niech wynoszą $3t$ i $7t$. Odległość środków jest równa $14-6=8$, a przy styczności zewnętrznej także sumie promieni. Stąd $10t=8$.