MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 267

Z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym $CD^2=AD\cdot DB$, więc $DB=16/3$, a $AB=25/3$. Dalej $AC^2=AD\cdot AB=25$ i $BC^2=DB\cdot AB=400/9$.

Dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego jest równy połowie sumy przyprostokątnych pomniejszonej o przeciwprostokątną. Otrzymujemy kolejno

$r_{ABC}=\frac{5+20/3-25/3}{2}=\frac53,$

r_{BCD}=\frac{4+16/3-20/3}{2}=\frac43.$$

Przeciwprostokątna ma długość $c=4+9=13$, a wysokość spełnia $h^2=4\cdot9$, więc $h=6$. Przyprostokątne mają długości $\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}$ oraz $\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}$.

Stąd $P=ch/2=39$, a obwód wynosi $13+5\sqrt{13}$.

Oba mniejsze trójkąty mają tę samą wysokość do odcinków przeciwprostokątnej, więc ich pola pozostają w stosunku długości tych odcinków, czyli $1:4$.

Jeśli odcinki przeciwprostokątnej mają długości $p$ i $4p$, to kwadraty przyprostokątnych są proporcjonalne do $p$ i $4p$. Stosunek samych przyprostokątnych wynosi zatem $1:2$.

Z równoległości $BE\parallel CD$ trójkąty $ABE$ i $ACD$ są podobne. Skala większego do mniejszego wynosi

$\frac{AC}{AB}=\frac{4+3}{4}=\frac74.$

Dlatego $(5+x)/5=7/4$ oraz $y/2=7/4$. Po rozwiązaniu tych równań otrzymujemy szukane długości.

Trójkąty odcięte prostymi są podobne do całego trójkąta. Jeżeli pola rosną kolejno do $1/3$ i $2/3$ pola całego trójkąta, to odpowiednie odległości od wierzchołka na boku $AC$ są równe

3\sqrt3\sqrt{\frac23}=3\sqrt2.$$ Odejmując kolejne położenia punktów podziału, dostajemy trzy odcinki.