MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 266

a) Dla drugiej przyprostokątnej $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$ zależność $r=(6+b-c)/2=2$ daje $c=b+2$. Wraz z $36+b^2=c^2$ otrzymujemy $b=8$, zatem $P=24\text{ cm}^2$.

b) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest połową przeciwprostokątnej, więc $c=8$. Druga przyprostokątna ma długość $\sqrt{64-36}=2\sqrt7$, a pole wynosi $6\sqrt7\text{ cm}^2$.

Przeciwprostokątna ma długość $2R=25$. Dla przyprostokątnych $a,b$ mamy $a+b=25+2r=31$ oraz $a^2+b^2=625$. Zatem

$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=961-625=336.$

Pole jest równe $ab/2$.

Półobwód trójkąta $6$–$8$–$10$ wynosi $12$. Na boku $BC$ odcinek od $B$ do punktu styczności ma długość $s-|AC|=6$, zatem $CD=2$. Trójkąt $ACD$ jest prostokątny i ma przyprostokątne $6$ oraz $2$, więc $AD=\sqrt{36+4}$.

Połowa podstawy i wysokość mają po $4$ cm, więc ramię ma długość $4\sqrt2$ cm, a półobwód $s=4+4\sqrt2$. Punkt styczności dzieli ramię na odcinki $s-4\sqrt2=4$ oraz $s-8=4(\sqrt2-1)$.

Kąty przy podstawie mają po $30^\circ$. Dla boku naprzeciw kąta $\theta$ korzystamy ze wzoru $a=2R\sin\theta$. Każde ramię ma zatem $2\cdot5\sin30^\circ=5$, a podstawa $2\cdot5\sin120^\circ=5\sqrt3$.

Kąty przy podstawie mają po $15^\circ$. Dla ramienia $l$ pole wynosi $l^2\sin150^\circ/2=l^2/4$. Z drugiej strony $P=rs$, gdzie $s=l+l\sin75^\circ$. Stąd $l=24(1+\sin75^\circ)$. Podstawa jest równa $2l\sin75^\circ$, czyli po uproszczeniu $12(2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)$.