MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 265

a) Kąty ostre trójkąta mają $60^\circ$ i $30^\circ$. Trójkąty powstałe po opuszczeniu wysokości są podobne do wyjściowego, stąd $\delta=30^\circ$ i $\varphi=60^\circ$.

b) Kąt przy $A$ ma $65^\circ$, więc dwusieczna daje $\delta=32^\circ30'$. W trójkącie $ACD$ kąt przy $C$ jest prosty, zatem $\varphi=57^\circ30'$.

c) Środek przeciwprostokątnej jest równo odległy od wszystkich wierzchołków. Trójkąt $BCD$ jest równoramienny, więc $\varphi=40^\circ$, a $\delta=90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Niech druga przyprostokątna ma długość $b$, a przeciwprostokątna $c$.

a) Z $3b/c=\sqrt5$ oraz $c^2=9+b^2$ otrzymujemy $b=3\sqrt5/2$ i $c=9/2$.

b) Środkowa do przeciwprostokątnej ma długość $c/2$, więc $c=5$ i z twierdzenia Pitagorasa $b=4$.

c) Długość dwusiecznej kąta prostego jest równa $\sqrt2\,3b/(3+b)$. Równanie $\sqrt2\,3b/(3+b)=2\sqrt2$ daje $b=6$, a następnie $c=3\sqrt5$.

Przeciwprostokątna ma długość $5$.

a) Ze wzoru na środkową otrzymujemy długości $5/2$, $\sqrt{13}$ i $\sqrt{73}/2$.

b) Porównanie pola $\frac12\cdot3\cdot4$ z $\frac12\cdot5\cdot h$ daje $h=12/5$.

c) Odcinek $AD$ jest dwusieczną kąta prostego. Ze wzoru $l^2=bc\left(1-a^2/(b+c)^2\right)$ dla $a=5$, $b=3$, $c=4$ dostajemy $AD=12\sqrt2/7$.

Pole z dwóch boków i kąta między nimi jest równe

$P=\frac12\cdot3\sqrt3\cdot6\cdot\sin30^\circ=\frac{9\sqrt3}{2}.$

Z twierdzenia cosinusów trzeci bok ma długość $\sqrt{27+36-54}=3$. Każdą wysokość liczymy ze wzoru $h=2P/a$.

Przyprostokątne mają długość $9\sqrt2$. Przyjmijmy współrzędne wierzchołków $(0,0)$, $(9\sqrt2,0)$ i $(0,9\sqrt2)$. Środek ciężkości ma współrzędne $(3\sqrt2,3\sqrt2)$. Jego odległość od wierzchołka kąta prostego wynosi $6$, a od każdego z dwóch pozostałych wierzchołków $3\sqrt{10}$.

Przeciwprostokątna ma długość $5$. Jeżeli $s$ jest półobwodem, to przyprostokątne mają długości $s-2$ i $s-3$. Z twierdzenia Pitagorasa

$(s-2)^2+(s-3)^2=25,$

więc dodatnie rozwiązanie to $s=6$. Przyprostokątne mają zatem długości $4$ i $3$, a $r=s-5=1$.