MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 263

Środek okręgu to $S=(-3,4)$, a promień wynosi $1$. Mamy $|PS|=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41}$. Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc z twierdzenia Pitagorasa długość odcinka stycznego jest równa

$\sqrt{|PS|^2-r^2}=\sqrt{41-1}.$

Punkt podstawy ma postać $(x,2x-3)$. Warunek odległości od $C=(-3,1)$ daje

$(x+3)^2+(2x-4)^2=40,$

czyli $x^2-2x-3=0$. Zatem $x=-1$ lub $x=3$.

Rzut prostokątny punktu $A=(-4,4)$ na prostą przekątnej $y=\frac12x+1$ jest środkiem kwadratu. Przecięcie tej prostej z prostą $y=-2x-4$ daje $O=(-2,0)$. Wierzchołek przeciwny do $A$ to $C=2O-A=(0,-4)$.

Wektor od $O$ do pozostałych wierzchołków jest równoległy do $(2,1)$ i ma długość $|OA|=2\sqrt5$, więc wynosi $(4,2)$ lub $(-4,-2)$. Promień okręgu opisanego spełnia $R^2=20$.

Dla wierzchołka $A$ leżącego naprzeciw podstawy o środku $P$ zachodzi $S=(A+2P)/3$, więc $A=3S-2P=(4,0)$. Niech $B=(u,v)$ leży na podanej środkowej, zatem $7u+v=8$. Ponieważ $B+C=2P$, wektor podstawy jest prostopadły do $AP$; daje to drugie równanie $2u+v=-2$.

Stąd $B=(2,-6)$ i $C=(-2,2)$, z dokładnością do zamiany nazw końców podstawy.

a) Wysokość z $A$ leży na prostej $y=x-2$. Jej przecięcie z podstawą $x+y=6$ to $H=(4,2)$. Połowa podstawy ma długość $2\sqrt2$, więc od $H$ odkładamy na prostej podstawy wektory $(2,-2)$ i $(-2,2)$. Otrzymujemy $B=(6,0)$ oraz $C=(2,4)$.

b) Środek okręgu leży na $y=x-2$. Porównanie jego odległości od $A$ i $B$ daje $O=(\frac52,\frac12)$ oraz $R^2=25/2$.

Wierzchołek przeciwległy do $P=(-2,-2)$ jest równy $R=2S-P=(4,6)$. Wektor boku wychodzącego z $P$ ma kierunek $(2,1)$, więc zapisujemy go jako $u=t(2,1)$. Drugi wektor boku to $v=(6,8)-u$. Warunek $|u|=|v|$ daje $t=5/2$.

Pozostałe wierzchołki to $P+u=(3,\frac12)$ oraz $R-u=(-1,\frac72)$. Ponadto $\cos\alpha=|u\cdot v|/(|u||v|)=3/5$.

Okrąg ma środek $S=(-1,3)$ i promień $\sqrt5$. Proste prostopadłe do $x-2y+1=0$ mają nachylenie $-2$, więc zapisujemy je jako $2x+y-b=0$. Warunek styczności ma postać

$\frac{|2(-1)+3-b|}{\sqrt5}=\sqrt5,$

czyli $|1-b|=5$.

Punkt przecięcia prostych spełnia $3x=9k+3$, zatem ma współrzędne $(3k+1,4k-2)$. Jego wektor względem środka koła $S=(1,-2)$ to $(3k,4k)$. Warunek przynależności do koła daje $25k^2\leq1$.

Ponieważ $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}=(6,2)$, a $S=(1,0)$ jest środkiem $AB$, mamy $A=(-2,-1)$ i $B=(4,1)$. Następnie $C=B+\overrightarrow{BC}=(5,4)$ oraz $D=C+\overrightarrow{CD}=(-1,2)$.

Pole jest wartością bezwzględną wyznacznika wektorów boków: $|6\cdot3-2\cdot1|=16$.

Okrąg ma środek $S=(-1,2)$ i promień $4$. Punkt $C$ musi leżeć na symetralnej odcinka $AB$. Ma ona równanie $y=x+3$. Po podstawieniu do równania okręgu otrzymujemy $2(x+1)^2=16$, więc $x=-1\pm2\sqrt2$ i $y=2\pm2\sqrt2$ z tym samym znakiem.

Wektory $\overrightarrow{AB}=(3,3)$ i $\overrightarrow{BC}=(-5,5)$ są prostopadłe, więc są kolejnymi bokami prostokąta. Czwarty wierzchołek to $D=A+C-B=(-3,4)$. Środek okręgu jest środkiem przekątnej $AC$, czyli $O=(1,3)$. Promień $OD$ ma nachylenie $-1/4$, zatem styczna ma nachylenie $4$.