MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 262

Rozwiązanie układu prostych ma postać

$x=2m-3,\qquad y=1-m.$

Wnętrze podanego kwadratu opisują warunki $-1<x<1$ i $-1<y<1$. Pierwszy daje $1<m<2$, a drugi $0<m<2$. Ich częścią wspólną jest przedział $(1;2)$.

Z równania $x+y=3-m$ podstawiamy $y=3-m-x$ do pierwszego równania. Otrzymujemy $5x=5$, zatem punkt przecięcia ma współrzędne $(1,2-m)$. Warunek przynależności do okręgu daje

$1+(2-m)^2=5,$

czyli $(m-2)^2=4$.

a) Po dodaniu równań otrzymujemy $x=m-1$, a następnie $y=-1$. Warunek przynależności do koła ma postać

$(m-1)^2+1\leq\frac{25}{16},$

stąd $|m-1|\leq\frac34$.

b) Dodanie równań daje $x=-\frac34$, a $y=m-1$. Zatem

$\frac9{16}+(m-1)^2\leq\frac{25}{16},$

czyli $|m-1|\leq1$.

Proste $A_1x+B_1y+C_1=0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$ są prostopadłe, gdy $A_1A_2+B_1B_2=0$.

a) Dostajemy $4m+2m^2=2m(m+2)=0$, więc $m=-2$ lub $m=0$. Dla $m=-2$ punkt przecięcia to $(-\frac94,\frac34)$, a jego odległość od początku układu wynosi $\frac{3\sqrt{10}}4$. Dla $m=0$ punkt ma współrzędne $(-\frac32,3)$, więc odległość jest równa $\frac{3\sqrt5}{2}$.

b) Warunek prostopadłości ma postać $m[(m-1)^2+1]=0$, zatem $m=0$. Proste przecinają się wtedy w $(-4,1)$, którego odległość od początku układu wynosi $\sqrt{17}$.

Wyznacznik współczynników prostych jest równy $2-2m^2$. Dla $m=-1$ oba równania opisują tę samą prostą, natomiast dla $m=1$ otrzymujemy dwie różne proste równoległe $2x+y+1=0$ i $2x+y-1=0$.

Odległość początku układu od każdej z nich wynosi $1/\sqrt5$. Okrąg styczny do obu prostych ma więc promień $1/\sqrt5$.

Podstawienie $P(1,4)$ do obu równań daje $b=a+3$ oraz $b=-a/2$. Stąd $a=-2$ i $b=1$. Proste mają równania $y=2x+2$ oraz $x+y=5$, więc $A=(-1,0)$ i $B=(5,0)$.

Mamy $|AB|=6$, $|AP|=2\sqrt5$ i $|BP|=4\sqrt2$. Sumujemy te długości.

Zapisujemy $C=(t,3t+1)$. Pole wyznaczone przez wektory $\overrightarrow{AB}=(6,-3)$ i $\overrightarrow{AC}=(t+3,3t)$ wynosi

$\frac12|21t+9|=15.$

Zatem $21t+9=30$ albo $21t+9=-30$, skąd $t=1$ lub $t=-13/7$.

Wysokość pionowa jest prostopadła do boku poziomego przechodzącego przez $A$, więc jeden bok ma równanie $y=-2$. Druga wysokość ma nachylenie $2$, zatem prostopadły do niej bok przez $A$ ma równanie $y=-\frac12x-\frac12$.

Przecięcia tych boków z odpowiadającymi wysokościami dają punkty $(-\frac92,-2)$ i $(-7,3)$. Prosta przez te punkty ma równanie $y=-2x-11$.

Jeżeli $P,R,S$ są środkami boków, to wierzchołki mają współrzędne $P+R-S$, $P+S-R$ i $R+S-P$. Otrzymujemy kolejno $(-5,-5)$, $(-1,7)$ i $(1,-7)$.

Po podstawieniu tych punktów do równania $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ dostajemy $D=E=0$ i $F=-50$.

Środek ciężkości ma współrzędne $G=(-2,0)$. Z porównania kwadratów odległości środka okręgu $O=(u,v)$ od par wierzchołków otrzymujemy układ $v=2u+1$ oraz $u+v+2=0$. Stąd $O=(-1,-1)$.

Zatem $|OG|=\sqrt{(-1+2)^2+(-1)^2}$.