MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 261

Porównujemy odległość środka $S(-2,3)$ od prostej z promieniem $3$.

a) $d=\frac{|-6-12+4|}{5}=\frac{14}{5}<3$, więc są dwa punkty wspólne.

b) Dla $x-y+1=0$ mamy $d=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2<3$, więc są dwa punkty.

c) $d=\frac{|-6+12+9|}{5}=3$, więc prosta jest styczna.

Okrąg ma środek $(-2,3)$ i promień $5$.

a) Odległość od $x-2y+18=0$ wynosi $2\sqrt5<5$, więc są dwa punkty.

b) Odległość od $2x-y-6=0$ wynosi $\frac{13}{\sqrt5}>5$, więc nie ma punktów wspólnych.

c) Odległość od $4x-3y-8=0$ wynosi $5$, więc jest jeden punkt styczności.

a) Proste mają postać $x-y+1=0$ i $x-y-3=0$. Ich odległość to $\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$, więc promień szukanego okręgu wynosi $\sqrt2$. Prosta środkowa $x-y-1=0$ przecina oś $OX$ w $(1,0)$.

b) Proste mają postać $2x+y+6=0$ i $2x+y-14=0$. Odległość wynosi $\frac{20}{\sqrt5}=4\sqrt5$, promień $2\sqrt5$, a prosta środkowa $2x+y-4=0$ przecina oś $OX$ w $(2,0)$.

Okrąg ma środek $(2,-1)$ i promień $4$. Warunkiem styczności jest odległość środka od prostej równa $4$.

a) $\frac{|m+3|}{\sqrt2}=4$, więc $m=-3\pm4\sqrt2$.

b) $\frac{|m+1|}{\sqrt2}=4$, więc $m=-1\pm4\sqrt2$.

c) $\frac{|m+4|}{\sqrt5}=4$, więc $m=-4\pm4\sqrt5$.

Symetria zachowuje promień, więc odbijamy tylko środek.

a) Odbicie środka $(6,-1)$ względem $y=x+1$ daje $(-2,7)$. Promień nadal wynosi $4$.

b) Odbicie środka $(-2,3)$ względem $2y-x+2=0$ daje $(2,-5)$. Promień nadal ma kwadrat $50$.

a) Po podstawieniu $y=x+1$ dostajemy $x^2-2x-3=0$, więc punkty to $(-1,0)$ i $(3,4)$. Prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

b) Podstawienie $y=x+4$ prowadzi do równania o ujemnej delcie. Układ jest sprzeczny, a prosta nie przecina okręgu.

c) Odjęcie równań daje $x+y=3$. Wraz z $x^2+y^2=9$ otrzymujemy $xy=0$, więc $(3,0)$ i $(0,3)$; są to punkty przecięcia dwóch okręgów.

d) Odjęcie równań daje $x=-4$, a następnie $y=\pm3$. Okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Długość cięciwy w odległości $d$ od środka okręgu o promieniu $r$ wynosi $2\sqrt{r^2-d^2}$.

a) Okrąg ma środek $(1,1)$ i promień $1$, a $d=\frac1{\sqrt2}$. Długość cięciwy to $2\sqrt{1-\frac12}=\sqrt2$.

b) Okrąg ma środek $(3,4)$ i $r^2=10$, a odległość od $x+2y-6=0$ wynosi $\sqrt5$. Długość to $2\sqrt{10-5}=2\sqrt5$.

Odejmujemy równania okręgów. Wyrazy kwadratowe się redukują i otrzymujemy prostą punktów wspólnych: $-6x-6y+30=0,\qquad x+y-5=0.$ Odległość punktu $P(-1,-4)$ od tej prostej wynosi $\frac{|-1-4-5|}{\sqrt2}=5\sqrt2.$

Oś $x+2y-2=0$ zamienia parami wierzchołki przy każdej podstawie.

a) Odbicie $A(0,-4)$ względem osi daje $B(4,4)$, a odbicie $D(-3,0)$ daje $C(-1,4)$.

b) Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii. Niech będzie równy $(u,v)$. Z warunków $u+2v-2=0,\qquad |SA|^2=|SD|^2$ otrzymujemy $u=\frac32$, $v=\frac14$. Następnie $r^2=\left(\frac32\right)^2+\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{325}{16}.$