MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 260

Niech $C=(x,y)$. Ze wzoru na środek ciężkości: $\frac{1+4+x}{3}=1,\qquad \frac{-3+2+y}{3}=-1.$ Stąd $C=(-2,-2)$. Wektory $\overrightarrow{AB}=[3,5]$ i $\overrightarrow{AC}=[-3,1]$ dają $P=\frac12|3\cdot1-5(-3)|=9.$

Promień jest odległością $SA$.

a) $r^2=1^2+3^2=10$, więc $x^2+y^2=10$.

b) $r^2=(-1)^2+(-3)^2=10$, więc $(x-1)^2+(y-3)^2=10$.

c) $r^2=(-3)^2+4^2=25$, więc $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Środek leży na symetralnej cięciwy $AB$.

a) $|AB|=10$, więc $AB$ jest średnicą. Środek to $(-1,0)$.

b) Ponownie $|AB|=10$, więc środek to $(1,1)$.

c) Środek cięciwy to $(\frac12,\frac32)$, a jego odległość od środka okręgu wynosi $\sqrt{25-\frac12}=\frac7{\sqrt2}$. Przesunięcie wzdłuż prostopadłej do $AB$ daje dwa środki: $(4,-2)$ i $(-3,5)$.

Promień jest odległością środka $S(-1,4)$ od prostej stycznej.

a) Odległość od osi $OX$ wynosi $4$.

b) Odległość od osi $OY$ wynosi $1$.

c) Odległość od $4x-3y-9=0$ wynosi $\frac{|-4-12-9|}{5}=5$.

Styczność do osi $OY$ w $B(0,2)$ oznacza, że środek ma postać $S=(s,2)$, a promień jest równy $|s|$.

a) Warunek $(6-s)^2=s^2$ daje $s=3$, $r=3$.

b) Warunek $(-2-s)^2+(-4)^2=s^2$ daje $s=-5$, $r=5$.

a) Drugi okrąg ma środek $(-1,1)$ i promień $1$, a odległość środków wynosi $4$. Dla styczności zewnętrznej $R+1=4$, a dla wewnętrznej $|R-1|=4$, więc $R=3$ lub $R=5$.

b) Drugi okrąg ma środek $(-1,-2)$ i promień $2$, a odległość środków wynosi $5$. Otrzymujemy $R=3$ lub $R=7$.

Porównujemy odległość $d$ między środkami z $r_1+r_2$ i $|r_1-r_2|$, gdzie pierwszy okrąg ma środek $(1,2)$ i promień $2$.

a) Środek $(0,2)$, promień $1$, $d=1=|2-1|$: styczność wewnętrzna.

b) Środek $(-2,-2)$, promień $2\sqrt2$, $d=5>2+2\sqrt2$: okręgi rozłączne zewnętrznie.

c) Środek $(1,0)$, promień $3$, $1<d=2<5$: dwa punkty wspólne.

d) Po uzupełnieniu kwadratów drugi okrąg ma środek $(5,2)$ i promień $2$. Ponieważ $d=4=2+2$, okręgi są styczne zewnętrznie.

a) Okręgi mają środki $(0,4)$, $(4,0)$ i jednakowe promienie $2\sqrt2$. Odległość środków wynosi $4\sqrt2$, czyli sumę promieni, więc są styczne zewnętrznie.

b) Po uzupełnieniu kwadratów otrzymujemy środki $(2,-4)$ i $(-3,2)$ oraz promienie $3$ i $5$. Odległość środków to $\sqrt{61}$, a $2<\sqrt{61}<8$, więc okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Równanie opisuje okrąg wtedy, gdy kwadrat promienia jest dodatni.

a) $x^2+(y-1)^2=m+1$, więc $m+1>0$.

b) $(x-m)^2+y^2=m^2+m$, więc $m(m+1)>0$.

a) $AB^2=BC^2=80$, $AC^2=160$, więc trójkąt jest prostokątny w $B$. Środek okręgu to środek przeciwprostokątnej $AC$, czyli $(-3,2)$, a $r^2=40$.

b) Z równości kwadratów odległości środka $(u,v)$ od trzech wierzchołków otrzymujemy układ liniowy z rozwiązaniem $(2,2)$. Promień spełnia $r^2=(-3)^2+(-1)^2=10$.