MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 259

Mamy $\overrightarrow{AB}=[3,4]$ oraz $\overrightarrow{BC}=[2,-4]$.

a) $[3,4]+[2,-4]=[5,0]$.

b) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AB}=[-3,-4]-[3,4]=[-6,-8]$.

c) $[3,4]+2[2,-4]=[7,-4]$.

Niech $P=(x,y)$. Korzystamy z $\overrightarrow{AC}=[-3,2]$, $\overrightarrow{AB}=[0,-4]$ i $\overrightarrow{BC}=[-3,6]$.

a) $[x-2,y+3]=[-3,2]$, więc $P=(-1,-1)$.

b) $[0,4]+[-1-x,3-y]=[-3,6]$, więc $P=(2,1)$.

c) $[-1-x,3-y]=[0,-8]$, więc $P=(-1,11)$.

Oznaczmy $\overrightarrow{AB}=\vec u$ i $\overrightarrow{AD}=\vec v$. Wtedy $\overrightarrow{BC}=\vec v$, $\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v$, $\overrightarrow{DB}=\vec u-\vec v$ oraz $2\overrightarrow{AO}=\vec u+\vec v$.

a) Obie strony są równe $\vec u+\vec v$.

b) Obie strony są równe $\vec u+\vec v$.

c) $(\vec u+\vec v)-(\vec u-\vec v)=2\vec v$.

d) Lewa strona jest równa $\vec u$, a nie ogólnie $\vec v$.

Dla kolejnych wierzchołków równoległoboku zachodzi $A+C=B+D$, czyli $D=A+C-B$.

a) $D=(-3,-2)+(1,6)-(5,2)=(-7,2)$.

b) $D=(3,-1)+(-1,6)-(5,2)=(-3,3)$.

Przesunięcie o wektor $[p,q]$ dodaje $p$ do pierwszej i $q$ do drugiej współrzędnej obu końców.

a) $A'=(3,0)$, $B'=(0,2)$.

b) $A'=(3,3)$, $B'=(0,5)$.

c) $A'=(1,-3)$, $B'=(-2,-1)$.

d) $A'=(0,-4)$, $B'=(-3,-2)$.

Dodajemy podany wektor do każdego wierzchołka.

a) $\overrightarrow{AB}=[2,4]$, stąd $A'(4,6)$, $B'(6,10)$, $C'(2,12)$, $D'(0,8)$.

b) $\overrightarrow{BA}=[-2,-4]$, stąd $A'(0,-2)$, $B'(2,2)$, $C'(-2,4)$, $D'(-4,0)$.

c) $\frac12\overrightarrow{CD}=[-1,-2]$, stąd $A'(1,0)$, $B'(3,4)$, $C'(-1,6)$, $D'(-3,2)$.

Z $\overrightarrow{DB}=[5,-1]$ wynika $D=B-[5,-1]=(-2,2)$. W równoległoboku $A+C=B+D$, więc $C=B+D-A=(4,5).$ Wektory $\overrightarrow{AB}=[6,3]$ i $\overrightarrow{AD}=[1,4]$ wyznaczają pole $P=|6\cdot4-3\cdot1|=21.$

Ponieważ $D$ jest środkiem podstawy $AB$, mamy $B=2D-A=(3,-3).$ Środek ciężkości ma współrzędne będące średnimi współrzędnych wierzchołków: $G=\left(\frac{-5+3+3}{3},\frac{1-3+7}{3}\right)=\left(\frac13,\frac53\right).$