MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 258

Porównujemy kwadraty długości boków.

a) $AB^2=232$, $AC^2=BC^2=116$. Trójkąt jest równoramienny i $116+116=232$, więc także prostokątny.

b) $AB^2=320$, $AC^2=BC^2=205$. Jest równoramienny, ale nie prostokątny.

c) $AB^2=17$, $AC^2=425$, $BC^2=442$. Ponieważ $17+425=442$, jest prostokątny, lecz nie równoramienny.

d) Kwadraty boków to $260$, $148$, $424$; nie ma ani równych boków, ani równości Pitagorasa.

Oś symetrii odcinka jest jego symetralną.

a) Odcinek jest pionowy, a jego środek ma drugą współrzędną $\frac{11}{2}$, więc symetralna ma równanie $y=\frac{11}{2}$.

b) Środek to $(0,4)$, a prosta prostopadła do $AB$ ma współczynnik $-\frac13$. Stąd $y=-\frac13x+4$.

c) Środek to $(2,\frac52)$, a współczynnik prostopadły wynosi $\frac23$. Stąd $y=\frac23x+\frac76$.

a) Prosta $AB$ ma równanie $x+y+2=0$. Zatem $h=\frac{|3+3+2|}{\sqrt2}=4\sqrt2.$ Ponieważ $|AB|=5\sqrt2$, pole wynosi $\frac12\cdot5\sqrt2\cdot4\sqrt2=20$.

b) Prosta $AB$ ma równanie $x-2y+6=0$. Stąd $h=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5$. Dla $|AB|=4\sqrt5$ otrzymujemy $P=30$.

Pole równoległoboku to długość $AB$ pomnożona przez odległość między prostą $AB$ i równoległą do niej prostą $k$.

a) $AB:x+2y-6=0$, $k:x+2y-10=0$. Odległość wynosi $4/\sqrt5$, a $|AB|=2\sqrt5$, więc $P=8$.

b) $AB:x-3y-8=0$, $k:x-3y+5=0$. Odległość wynosi $13/\sqrt{10}$, a $|AB|=2\sqrt{10}$, więc $P=26$.

Sprowadzamy równania prostych do tej samej postaci ogólnej.

a) $3x+y-2=0$ i $3x+y+2=0$, więc $d=\frac4{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}5$.

b) $x-2y+6=0$ i $x-2y-2=0$, więc $d=\frac8{\sqrt5}=\frac{8\sqrt5}{5}$.

a) Środki okręgów to odpowiednio $(2,-3)$ i $(-2,-3)$, a promienie obu są równe $\sqrt{10}$. Środki są symetryczne względem osi $OY$.

b) Środki to $(1,2)$ i $(-1,-2)$, a promienie obu są równe $5$. Drugi środek jest przeciwieństwem pierwszego, więc symetrią jest środek układu współrzędnych.

a) Odbicie względem $y=5$ zachowuje $x$ i zmienia $y$ na $10-y$, więc $B=(10,-1)$.

b) Odbicie względem $y=-x$ ma postać $(x,y)\mapsto(-y,-x)$, więc $B=(-11,-10)$.

c) Dla prostej $x+3y-1=0$ wartość $Ax_0+By_0+C$ wynosi $10$. Wzór na odbicie punktu względem prostej daje $B=(0,-3)$.

d) Stosując ten sam wzór do $x-2y-6=0$, otrzymujemy $B=(6,-5)$.

Szukany punkt $(x,y)$ jest równo odległy od wszystkich trzech wierzchołków.

a) Z równości odległości od $A,B$ oraz od $B,C$ otrzymujemy układ $y=2x+4$, $x+2y=13$. Jego rozwiązaniem jest $(1,6)$.

b) Analogiczne odjęcie równań kwadratów odległości daje układ liniowy, którego rozwiązaniem jest $(-2,3)$.

a) Dla punktu $(t,0)$ warunek równych odległości ma postać $\frac{|t-8|}{\sqrt2}=\frac{|7t-14|}{5\sqrt2}.$ Równania $5(t-8)=\pm(7t-14)$ dają $t=-13$ lub $t=\frac92$.

b) Dla punktu $(0,t)$ otrzymujemy $\frac{|t+4|}{\sqrt2}=\frac{|t+7|}{\sqrt5}.$ Po podniesieniu do kwadratu: $t^2+4t-6=0$, czyli $t=-2\pm\sqrt{10}$.

Prosta równo odległa od dwóch prostych równoległych ma taki sam wektor normalny, a jej wyraz wolny jest średnią wyrazów wolnych po jednakowym unormowaniu równań.

a) Średnia liczb $2$ i $-5$ wynosi $-\frac32$, więc $x-y-\frac32=0$.

b) Średnia liczb $-3$ i $7$ wynosi $2$, więc $2x-y+2=0$.