MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 253

Stosujemy $S=\frac{a_1}{1-q}$, sprawdzając $|q|<1$.

a) $S=\frac2{1-\sqrt3/3}=3+\sqrt3$.

b) $a_2=6$, więc $q=-\frac13$ i $S=-\frac{18}{1+1/3}=-\frac{27}{2}$.

c) Z równań $a_1(1+q^2)=10$ i $a_1q(1+q^2)=-5$ wynika $q=-\frac12$, $a_1=8$, zatem $S=\frac{16}{3}$.

d) $q^3=\frac{a_6}{a_3}=\frac1{2\sqrt2}$, więc $q=\frac1{\sqrt2}$ i $a_1=2\sqrt2$. Stąd $S=4(1+\sqrt2)$.

Dla okresu długości $k$ odejmujemy od $10^kx$ liczbę $x$; część nieokresową uwzględniamy przed odejmowaniem. Po skróceniu otrzymujemy:

a) $\frac29$; b) $1+\frac49=\frac{13}{9}$; c) $2+\frac2{15}=\frac{32}{15}$; d) $2,5=\frac52$;

e) $2+\frac{45}{99}=\frac{27}{11}$; f) $3+\frac1{99}=\frac{298}{99}$; g) $1+\frac{450}{999}=\frac{161}{111}$; h) $\frac{270}{999}=\frac{10}{37}$.

Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$.

a) $|2x-1|<1$, czyli $0<x<1$.

b) Zapisujemy $q=1-\frac{(x-1)^2}{2}$. Warunek $q<1$ wyklucza $x=1$, a $q>-1$ daje $(x-1)^2<4$.

a) Pierwszy wyraz to $1$, a iloraz $q=2x$. Warunek $|2x|<1$ daje $x\in(-\frac12;\frac12)$, a $S=\frac1{1-2x}$.

b) Tutaj $q=\frac1{4x}$. Warunek $|q|<1$ jest równoważny $|x|>\frac14$, a $S=\frac1{1-1/(4x)}=\frac{4x}{4x-1}.$

Każdorazowo najpierw zapisujemy warunek $|q|<1$.

a) $\frac{2-x}{1-x}=3-2x$ przy $|2-x|>1$. Równanie $2x^2-4x+1=0$ daje tylko dopuszczalne $x=1-\frac{\sqrt2}{2}$.

b) Dla $x>-\frac32$ suma lewej strony wynosi $\frac{x+3}{3}$. Równanie $3x^2-x-2=0$ daje $x=-\frac23$ lub $x=1$.

c) Warunki obu szeregów dają $x\in(0;1)$. Równanie $\frac{6x}{1+x}=\frac1x$ ma w tym przedziale rozwiązanie $x=\frac12$.

d) Dla $|\cos x|<1$ suma wynosi $\frac{\cos x}{1+\cos x}$. Równanie daje $\cos x=-\frac12$.

a) Iloraz szeregu wynosi $-\frac2x$, więc $|x|>2$. Dla $x>2$ i dla $x<-2$ suma $-\frac{2x}{x+2}$ jest ujemna, a $x^2+x$ dodatnie, zatem nierówność zachodzi w całej dziedzinie zbieżności.

b) Niech $t=\sin x$. Dla $x\in(0;\pi)$ mamy $0<t\le1$, a zbieżność wyklucza $t=1$. Ponadto $\frac{t^2}{1-t}\ge\frac12\iff 2t^2+t-1\ge0\iff t\ge\frac12.$ Stąd uwzględniamy końce, dla których $\sin x=\frac12$, i wykluczamy $x=\frac\pi2$.

Jest to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $t=\tan x$ i ilorazie $t^2$. Przy $|t|<1$ jego suma wynosi $\frac{t}{1-t^2}$. Równanie $\frac{t}{1-t^2}=\frac{\sqrt3}{2}$ prowadzi do $\sqrt3t^2+2t-\sqrt3=0$. Pierwiastki to $t=\frac1{\sqrt3}$ i $t=-\sqrt3$, lecz drugi nie spełnia warunku zbieżności.

a) Szereg ma $a_1=2x$ i $q=x$, więc $D=(-1;1)$ oraz $f(x)=\frac{2x}{1-x}=-2-\frac2{x-1}.$ Funkcja jest rosnąca na tej dziedzinie, a granice na jej końcach dają $f(D)=(-1;\infty)$.

b) Mamy $a_1=-1$ i $q=-\frac1x$, zatem $D=(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$ oraz $f(x)=-\frac{x}{x+1}=\frac1{x+1}-1.$ Dla $x<-1$ wartości tworzą $(-\infty;-1)$, a dla $x>1$ przedział $(-1;-\frac12)$.