MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 252

W ilorazie wielomianów dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potrzebną potęgę $n$. Otrzymujemy:

a) $\displaystyle\frac{-4+\frac3n+\frac1{n^2}}{2+\frac1n+\frac2{n^2}}\to-2$.

b) Stopień mianownika jest większy, więc $a_n\to0$.

c) $a_n\sim-6n$, zatem $a_n\to-\infty$.

d) $a_n\sim2n$, zatem $a_n\to\infty$.

e) Iloraz współczynników przy $n^2$ wynosi $-9/3=-3$.

f) Iloraz współczynników przy $n^4$ wynosi $-3/4$.

Porównujemy wyrazy dominujące.

a) $\displaystyle a_n\sim\frac{(2n)(2n)^2}{(-2n^2)n}=-4$.

b) $\displaystyle a_n\sim\frac{9n^2(-2n)}{9n^2}=-2n\to-\infty$.

c) $\displaystyle a_n\sim\frac{n^2(2n)^2}{(3n)(2n)^2}=\frac n3\to\infty$.

d) Po podzieleniu licznika i mianownika przez $6^n$ dostajemy w liczniku składnik $10(5/6)^n\to0$.

e) Po podzieleniu przez $4^n$ granica wynosi $12$.

f) Potęga $8^n$ dominuje nad $6^n$, więc granica jest równa $3/4$.

O znaku granicy decyduje wyraz o najszybszym wzroście.

a) $2n^3$ dominuje, więc granica wynosi $\infty$.

b) Dominuje $-4n^5$, więc granica wynosi $-\infty$.

c) $4^n=(2^n)^2$ rośnie szybciej niż $8\cdot2^n$, więc $8\cdot2^n-4^n\to-\infty$.

Korzystamy z ciągłości pierwiastka i granic ilorazów:

a) $\displaystyle\sqrt{\frac{2-1/n}{8+8/n}}\to\sqrt{\frac14}=\frac12$.

b) $\displaystyle\sqrt{\frac{4+1/n^2}{9-1/n}}\to\frac23$.

c) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{1+2/n^3}{8+1/n^2}}\to\sqrt[3]{\frac18}=\frac12$.

Wyłączamy spod pierwiastka $n$-tego największą potęgę. Pozostały czynnik ma pierwiastek $n$-tego stopnia dążący do $1$.

a) $\sqrt[n]{9^n(1+(8/9)^n)}\to9$.

b) $\sqrt[n]{6^n(1-(1/2)^n)}\to6$.

c) Dominuje $2\cdot4^n$, więc granica wynosi $4$.

d) Dominuje $7^n$, więc granica wynosi $7$.

e) Dla dodatniego wyrażenia liniowego $\sqrt[n]{8+206n}\to1$.

f) $2\cdot3^n-1\le 2\cdot3^n-\sin n\le2\cdot3^n+1$, a oba skrajne pierwiastki dążą do $3$.