MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 254

a) Z $a_2=4$ i $a_4=16$ mamy $2r=12$, więc $r=6$ i $a_1=-2$. Wyrazy $a_2,a_4,\ldots,a_{20}$ tworzą ciąg o różnicy $12$, zatem $a_{20}=112,\qquad a_2+a_4+\cdots+a_{20}=\frac{10}{2}(4+112)=580.$

b) Dla szesnastu wyrazów $8a_1+64r=256,\qquad 8a_1+56r=240.$ Po odjęciu dostajemy $r=2$, następnie $a_1=16$ i $a_{16}=16+15\cdot2=46$.

Z równań $a_1+r=-4$ i $a_1+4r=2$ wynika $r=2$ oraz $a_1=-6$. Dla ostatniego wyrazu $-6+2(n-1)=42,$ więc $n=25$.

Warunki $a_1+2r=28$ i $a_1+9r=0$ dają $r=-4$ oraz $a_1=36$. Korzystamy z sumy: $S_n=\frac n2\bigl(72-4(n-1)\bigr)=2n(19-n)=-40.$ Stąd $n^2-19n-20=0$, a dodatnim rozwiązaniem jest $n=20$.

Mamy $(k-1)r=48-6=42$. Ponieważ $S_k=\frac k2(a_1+a_k)=\frac k2(6+48)=27k=405,$ otrzymujemy $k=15$. Wtedy $14r=42$, więc $r=3$.

Parujemy $a_i$ z $a_{n+i}$. Dla każdego $i=1,\ldots,n$ zachodzi $a_{n+i}-a_i=nr=5n.$ Różnica obu podanych sum jest więc równa $n\cdot5n=5n^2$. Z warunku $5n^2=500$ i $n>0$ dostajemy $n=10$.

Niech liczba wyrazów będzie równa $2m+1$. Różnica sumy wszystkich wyrazów i sumy wyrazów parzystych jest sumą $m+1$ wyrazów o numerach nieparzystych. Tworzą one ciąg od $2$ do $42$, więc $\frac{m+1}{2}(2+42)=242.$ Stąd $m=10$ i $n=21$. Różnica spełnia $2+20r=42$, zatem $r=2$.

a) Oznaczmy pierwsze trzy wyrazy przez $x,y,z$. Mamy $xz=y^2$, $x+y+z=2$ i $x^2+y^2+z^2=12$. Po podniesieniu sumy do kwadratu dostajemy $xy+xz+yz=-4$. Ponieważ $xz=y^2$, $y(x+z)+y^2=y(2-y)+y^2=2y=-4.$ Zatem $y=-2$, a $x+z=4$, $xz=4$, więc $x=z=2$.

b) Dzielimy sumę dziewięciu wyrazów na trzy bloki: $39=27(1+q^3+q^6).$ Dla $t=q^3$ równanie $1+t+t^2=\frac{13}{9}$ daje $t=\frac13$ lub $t=-\frac43$.

W iloczynie siedmiu kolejnych wyrazów wykładniki ilorazu, liczone względem $a_4$, sumują się do zera: $a_1a_2\cdots a_7=a_4^7.$ Ponieważ $a_4=\sqrt5$, otrzymujemy $(\sqrt5)^7=125\sqrt5$.

Po podzieleniu długości przez pierwszy wyraz możemy rozważać boki $1,q,q^2$, gdzie $q>0$.

Dla $q\ge1$ największy jest bok $q^2$ i warunek trójkąta ma postać $1+q>q^2$, czyli $q<\frac{1+\sqrt5}{2}$.

Dla $0<q\le1$ największy jest bok $1$ i potrzeba $q+q^2>1$, czyli $q>\frac{\sqrt5-1}{2}$.