MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 251

Wyznaczamy kolejne wyrazy bezpośrednio z rekurencji.

a) $2,2,2,2,2$. Ponieważ każdy wyraz jest równy $2$, ciąg jest stały.

b) $-4,-3,-1,2,6$. Różnica $a_{n+1}-a_n=n>0$, więc ciąg rośnie.

c) $3,2,-2,-11,-27$. Różnica wynosi $-n^2<0$, więc ciąg maleje.

d) $1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15$. Indukcyjnie $a_n=\frac1n$, zatem ciąg maleje.

a) Zależność $a_{n+1}=5a_n$ daje stały iloraz $5$, więc ciąg jest geometryczny.

b) Zależność $a_{n+1}=a_n-6$ daje stałą różnicę $-6$, więc ciąg jest arytmetyczny.

c) Początkowe wyrazy to $3,8,23$. Różnice $5,15$ i ilorazy $\frac83,\frac{23}{8}$ nie są stałe, więc ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.

d) Początkowe wyrazy to $-5,-15,-135$. Ilorazy $3,9$ nie są stałe, a różnice także się zmieniają. Ciąg nie jest żadnego z obu typów.

a) Kolejne wyrazy to

$$a_1=1, a_2=2, a_3=2, a_4=-3, a_5=-25, a_6=-100.$$

Ich suma wynosi $1+2+2-3-25-100=-123$.

b) Otrzymujemy

$$a_1=2, a_2=1, a_3=1, a_4=2, a_5=7, a_6=34.$$

Suma wynosi $2+1+1+2+7+34=47$.

Dla $n<k$ mamy $a_n<a_k<0$.

a) Mnożenie przez dodatnie $3$ i odjęcie $1$ zachowuje nierówność: $3a_n-1<3a_k-1$. Ciąg $(b_n)$ rośnie.

b) Mnożenie przez $-2$ odwraca nierówność, więc $(b_n)$ maleje.

c) Funkcja $x\mapsto1/x$ jest malejąca na $(-\infty;0)$. Zatem z $a_n<a_k$ wynika $1/a_n>1/a_k$ i $(b_n)$ maleje.

Dla $n<k$ mamy $a_n>a_k>0$. Badamy monotoniczność funkcji użytej do przekształcenia dodatnich wyrazów.

a) $4x-1$ rośnie, więc $(b_n)$ maleje.

b) $-x^2$ maleje dla $x>0$, więc przy malejącym argumencie wartości rosną: $(b_n)$ rośnie.

c) $\sqrt{x^2+1}$ rośnie dla $x>0$, więc $(b_n)$ maleje.

d) $x^2+x$ rośnie dla $x>0$, więc $(b_n)$ maleje.

e) $10/x$ maleje dla $x>0$, więc $(b_n)$ rośnie.

f) $-1/(1+x)$ rośnie dla $x>0$, więc $(b_n)$ maleje.