MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

Suma $n$ początkowych wyrazów wynosi

$$S_n=10\frac{2^n-1}{2-1}=10(2^n-1).$$

a) $S_n>600\iff2^n>61$. Ponieważ $2^5<61<2^6$, najmniejsze $n$ to $6$.

b) $S_n>1500\iff2^n>151$. Ponieważ $2^7<151<2^8$, najmniejsze $n$ to $8$.

a) Z $a_3=a_1q^2$ mamy $3q^2=12$, więc $q=2$ lub $q=-2$. Warunek

$$S_3=3(1+q+q^2)=9$$

spełnia tylko $q=-2$. Zatem $S_{10}=3\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=-1023$.

b) Warunki zapisujemy jako

$$a_1q(1+q)=8,qquad a_1q^3(1+q)=2.$$

Ich iloraz daje $q^2=\frac14$, więc $q=\frac12$ lub $q=-\frac12$. Dla $q=\frac12$ otrzymujemy $a_1=\frac{32}{3}$ i $S_6=21$; dla $q=-\frac12$ mamy $a_1=-32$ i $S_6=-21$.

Mamy

$$a_2+a_4=a_1q(1+q^2)=300,qquad a_3+a_5=a_1q^2(1+q^2)=225.$$

Dzielenie stronami daje $q=\frac{225}{300}=\frac34$. Z pierwszego równania otrzymujemy $a_1=256$. Zatem

$$S_n=256\frac{1-(3/4)^n}{1-3/4} =1024\left(1-\left(\frac34\right)^n\right).$$

Warunek $S_n=592$ daje $(\frac34)^n=\frac{27}{64}=(\frac34)^3$, więc $n=3$.

Iloraz ciągu wynosi $q=a_2/a_1=-\frac{\sqrt2}{2}$, więc $q^2=\frac12$.

a) Wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_2=-\sqrt2$ i ilorazie $\frac12$. Zatem

$$a_2+a_4+\cdots+a_{12} =-\sqrt2\frac{1-(1/2)^6}{1-1/2} =-\frac{63\sqrt2}{32}.$$

b) Dla numerów nieparzystych pierwszym wyrazem jest $a_1=2$, więc

$$a_1+a_3+\cdots+a_{11} =2\frac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=\frac{63}{16}.$$

Po $n$ latach kapitał wynosi $K_n=1000(1+r)^n$.

a) $1000\cdot1{,}04^2=1081{,}60$ zł.

b) $1000\cdot1{,}05^6\approx1340{,}10$ zł.

c) $1000\cdot1{,}04^{10}\approx1480{,}24$ zł.

Po $n$ latach bank otrzyma od pożyczkobiorcy $10\,000\cdot1{,}08^n$, a deponentowi będzie winien $10\,000\cdot1{,}03^n$. Zysk wynosi więc

$$Z_n=10\,000(1{,}08^n-1{,}03^n).$$

Dla $n=4$ otrzymujemy $Z_4\approx2349{,}80$ zł, a dla $n=8$ $Z_8\approx5841{,}60$ zł.

Przy $k$ kapitalizacjach rocznie po pięciu latach kapitał wynosi

$$K=500\left(1+\frac{0{,}04}{k}\right)^{5k}.$$

a) Dla $k=2$: $K=500\cdot1{,}02^{10}\approx609{,}50$ zł.

b) Dla $k=6$: $K=500(1+\frac{0{,}04}{6})^{30}\approx610{,}30$ zł.

c) Dla $k=12$: $K=500(1+\frac{0{,}04}{12})^{60}\approx610{,}50$ zł.

Efektywny roczny wzrost przy $k$ kapitalizacjach wynosi $(1+0{,}02/k)^k-1$.

Bank $A$: $1{,}02-1=2\%$.

Bank $B$: $1{,}005^4-1\approx2{,}015\%$.

Bank $C$: $(1+\frac{0{,}02}{12})^{12}-1\approx2{,}018\%$.

Największa jest trzecia wartość. Kwota wpłaty nie zmienia kolejności ofert.

Porównujemy efektywne roczne stopy:

$$A:\ \left(1+\frac{0{,}056}{12}\right)^{12}-1\approx5{,}746\%,$$ $$B:\ \left(1+\frac{0{,}0565}{4}\right)^4-1\approx5{,}771\%,$$ $$C:\ \left(1+\frac{0{,}0575}{2}\right)^2-1\approx5{,}833\%, \qquad D:\ 5{,}8\%.$$

Największą efektywną stopę ma bank $C$.