MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 249

Mamy $a_1=S_1$, a dla $n\ge2$ korzystamy z $a_n=S_n-S_{n-1}$.

a) $a_1=1$, a $a_n=n^2-(n-1)^2=2n-1$; wzór działa również dla $n=1$. Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $2$.

b) $a_1=0$, natomiast dla $n\ge2$ mamy $a_n=2n-1$. Pierwsza różnica wynosi $3$, a następne $2$, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

c) $a_1=0$, a dla $n\ge2$

$$a_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1.$$

Różnice nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Niech $a_n=a_1+(n-1)r$.

a)

$$b_n=a_{2n}=a_1+(2n-1)r,qquad b_{n+1}-b_n=2r.$$

b)

$$b_n=a_{2n+1}=a_1+2nr,qquad b_{n+1}-b_n=2r.$$

c)

$$b_n=2a_n-5=2a_1+2(n-1)r-5,qquad b_{n+1}-b_n=2r.$$

W każdym przypadku różnica jest stała, więc $(b_n)$ jest arytmetyczny.

a) Iloraz wynosi $2$, więc $a_n=2\cdot2^{n-1}=2^n$. Stąd $a_6=64$, $a_{10}=1024$.

b) Iloraz wynosi $\frac13$, więc $a_n=9(\frac13)^{n-1}=3^{3-n}$. Stąd $a_6=\frac1{27}$, $a_{10}=\frac1{2187}$.

c) Iloraz wynosi $\sqrt2$, więc $a_n=2^{-1/2}(\sqrt2)^{n-1}=2^{(n-2)/2}$. Stąd $a_6=4$, $a_{10}=16$.

Stosujemy $a_n=a_1q^{n-1}$.

a) $a_n=-3\cdot2^{n-1}$; $a_4=-24$, $a_7=-192$.

b) $a_n=4(-1)^{n-1}$; $a_4=-4$, $a_7=4$.

c) $a_n=3(-\sqrt2)^{n-1}$; $a_4=-6\sqrt2$, $a_7=24$.

d) $q=a_3/a_2=\frac12$ i $a_1=4$; zatem $a_n=4(\frac12)^{n-1}$, $a_4=\frac12$, $a_7=\frac1{16}$.

e) $q^3=a_6/a_3=-27$, więc $q=-3$ i $a_1=\frac13$. Stąd $a_n=\frac13(-3)^{n-1}$, $a_4=-9$, $a_7=243$.

f) $q^3=a_5/a_2=3\sqrt3$, więc $q=\sqrt3$. Zatem $a_n=2(\sqrt3)^n$, $a_4=18$, $a_7=54\sqrt3$.

a) $q=a_4/a_3=2$, a $a_1=a_3/q^2=2$. Zatem $a_n=2^n$, co jest ciągiem rosnącym.

b) $q^3=a_5/a_2=\frac8{27}$, więc $q=\frac23$ i $a_1=27$. Zatem $a_n=27(\frac23)^{n-1}$; dodatni ciąg o ilorazie z $(0;1)$ maleje.

c) $q^5=a_7/a_2=-4\sqrt2$, więc $q=-\sqrt2$ i $a_1=-\frac{\sqrt2}{4}$. Zatem $a_n=\frac14(-\sqrt2)^n$. Znaki zmieniają się, więc ciąg jest niemonotoniczny.

Badamy iloraz $a_{n+1}/a_n$.

a) Iloraz jest stale równy $2$: ciąg geometryczny.

b) Iloraz jest stale równy $5$: ciąg geometryczny.

c) Iloraz $\frac{1+2^{n+1}}{1+2^n}$ zależy od $n$: ciąg nie jest geometryczny.

d) $a_n=3\cdot15^{n-1}$, więc iloraz jest stale równy $15$: ciąg geometryczny.

Najpierw

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3\cdot2^{n+1}}{3\cdot2^n}=2,$$

więc $(a_n)$ jest geometryczny.

a) $b_n=(3\cdot2^n)^2=9\cdot4^n$, zatem $(b_n)$ jest geometryczny o ilorazie $4$.

b) $b_n=15\cdot2^n$, więc jest geometryczny o ilorazie $2$.

c) Dla $b_n=1-3\cdot2^n$ kolejne ilorazy nie są stałe (np. $b_1=-5$, $b_2=-11$, $b_3=-23$), więc ciąg nie jest geometryczny.

Niech $a_n=a_1q^{n-1}$.

a) $b_n=a_{2n}=a_1q^{2n-1}$, więc kolejne wyrazy mają iloraz $q^2$.

b) $b_n=a_{2n+1}=a_1q^{2n}$, również z ilorazem $q^2$.

c)

$$b_n=a_{n+1}-a_n=a_1(q-1)q^{n-1}.$$

Jest to wzór ciągu geometrycznego o ilorazie $q$; gdy współczynnik jest zerowy, otrzymujemy ciąg zerowy.

a) Dla czterech wyrazów $7q^3=189$, więc $q^3=27$ i $q=3$. Wstawiamy $21$ i $63$.

b) Dla pięciu wyrazów $6q^4=96$, więc $q^4=16$. Ciąg ma być rosnący i dodatni, zatem $q=2$; wstawiamy $12,24,48$.

c) Trzy wyrazy zapiszmy jako $\frac aq,a,aq$. Ich iloczyn jest $a^3=1$, więc $a=1$. Z sumy

$$\frac1q+1+q=\frac{13}{3}$$

otrzymujemy $3q^2-10q+3=0$, czyli $q=3$ lub $q=\frac13$.

Stosujemy wzór na sumę ciągu geometrycznego.

a)

$$S_5=5\frac{(3/2)^5-1}{3/2-1}=\frac{1055}{16}.$$

b) Przy $q=-1$ suma nieparzystej liczby $45$ wyrazów jest równa pierwszemu wyrazowi, czyli $\sqrt2$.

c) $q^3=a_6/a_3=-\frac18$, więc $q=-\frac12$ i $a_1=-4$. Stąd

$$S_6=-4\frac{1-( -1/2)^6}{1+1/2}=-\frac{21}{8}.$$

d) Z $a_2=a_1q=1$ mamy $a_1=1/q$. Ponadto $a_1a_4=q=\sqrt5$. Suma wyrazów $\frac1{\sqrt5},1,\sqrt5,5,5\sqrt5,25,25\sqrt5$ wynosi $31+\frac{156\sqrt5}{5}$.