MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 248

Piszemy $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) Układ ma postać

$$2a_1+r=-6,qquad2a_1+4r=0.$$

Po odjęciu równań otrzymujemy $3r=6$, więc $r=2$.

b) Pierwszy warunek daje $a_1+r=1$, czyli $a_2=1$. Drugi ma zatem postać $1\cdot(a_1+3r)=2$. Odejmując $a_1+r=1$, dostajemy $2r=1$, więc $r=\frac12$.

c) Oznaczmy $u=a_3$. Z warunku $a_3+a_7=-2$ mamy $u+2r=-1$, czyli $a_5=-1$. Iloczyn $a_3a_5=-8$ daje $u=8$. Zatem $8+2r=-1$ i $r=-\frac92$.

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego podwojony środkowy jest sumą skrajnych.

a)

$$2(2x+5)=(2x-1)+(3x+4)\iff x=7.$$

Wyrazy to $13,19,25$.

b)

$$2(2x+1)^2=(x+1)^2+(3x-1)^2 \iff2x(x-6)=0.$$

Dla $x=0$ otrzymujemy $1,1,1$, a dla $x=6$: $49,169,289$.

a) Pięć wyrazów prowadzi od $3$ do $63$, więc $r=(63-3):4=15$. Wstawione liczby to $18,33,48$.

b) Razem ma być siedem wyrazów, zatem

$$r=\frac{\sqrt2-(12+\sqrt2)}6=-2.$$

Kolejne wstawione wyrazy otrzymujemy, odejmując po $2$.

a) Warunki dają

$$2a_1+3r=-4,qquad a_6-a_{10}=-4r=8.$$

Stąd $r=-2$, a następnie $2a_1-6=-4$, więc $a_1=1$.

b) Z $a_2+a_6=4$ wynika $a_1+3r=2$, czyli $a_4=2$. Ponieważ $a_4a_7=22$, mamy $a_7=11$, zatem $a_7-a_4=3r=9$ i $r=3$. Wtedy $a_1=-7$ i $a_n=-7+3(n-1)=3n-10$.

Stosujemy $S_n=\frac n2(a_1+a_n)$.

a) $a_{12}=\frac32+11\cdot\frac12=7$, więc $S_{12}=6(\frac32+7)=51$.

b) $a_9=1+7\sqrt2$, zatem $S_9=\frac92(2+6\sqrt2)=9+27\sqrt2$.

c) Równość $a_3+a_4=-6+5r=9$ daje $r=3$. Wtedy $a_{15}=39$ i $S_{15}=\frac{15}{2}(-3+39)=270$.

d) Z $a_{12}-a_9=3r=15$ mamy $r=5$, a z $a_2=2$ mamy $a_1=-3$. Stąd $a_7=27$ i $S_7=\frac72(-3+27)=84$.

a) Liczby tworzą ciąg $12,17,\ldots,97$ o $18$ wyrazach. Zatem

$$S=\frac{18}{2}(12+97)=981.$$

b) Sumujemy wielokrotności $4$ i $6$, a wspólne wielokrotności $12$ odejmujemy jeden raz:

$$4(3+4+\cdots+24)=1188,qquad 6(2+3+\cdots+16)=810,$$ $$12(1+2+\cdots+8)=432.$$

Suma szukanej unii wynosi $1188+810-432=1566$.

Z $a_2=a_1+r=0$ mamy $a_1=-r$. Suma jedenastu wyrazów jest równa

$$S_{11}=\frac{11}{2}(2a_1+10r) =\frac{11}{2}\cdot8r=44r=220,$$

więc $r=5$ i $a_1=-5$. Wzór ogólny ma postać $a_n=-5+5(n-1)=5n-10$. Równość $5n-10=25$ daje $n=7$.

W sumie nieparzystej liczby początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego średnia wyrazów jest równa wyrazowi środkowemu. Dla siedmiu wyrazów jest nim $a_4=6$, zatem

$$S_7=7a_4=7\cdot6=42.$$

a) Ostatni wyraz to $x=2n$. Suma wynosi $n(n+1)=110$, więc $n=10$ i $x=20$.

b) Ciąg ma różnicę $-4$ i ostatni wyraz $-x=9-4n$, zatem $x=4n-9$. Warunek $\frac n2(5-x)=-72$ daje $n=8$, więc $x=23$.

c) Ostatni wyraz $4x-3$ ma numer $x$. Stąd $S_x=\frac x2(1+4x-3)=x(2x-1)=120$, więc $x=8$.

d) Wyraz $3x+2$ ma numer $n=x+3$. Równość

$$\frac{x+3}{2}(-4+3x+2)=72$$

daje $3x^2+7x-150=0$, a dodatnim rozwiązaniem jest $x=6$.