MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 247

a)

$$a_9=(-1)^9\frac{9-6}{9}=-\frac13,qquad b_{12}=(-1)^{13}\sqrt{49}=-7.$$

Zatem $3a_9+b_{12}=-1-7=-8$.

b) OCR Markdown błędnie podaje podstawę $2$. Skan strony 247 pokazuje $a_n=\log_3n$. Wobec tego

$$a_9=\log_3 9=2,qquad b_{12}=\log_4 64=3,$$

więc $3a_9+b_{12}=6+3=9$.

Podstawiamy kolejno $n=1,2,3,4$ do obu wzorów i mnożymy.

$$c_1=1\cdot7=7,qquad c_2=2\cdot(2^2-2)=4,$$ $$c_3=\frac13\cdot11=\frac{11}{3},qquad c_4=2\cdot(2^4-4)=24.$$

Przyjmujemy $n\in\mathbb N_+$.

a) $4n-15<0\iff n<\frac{15}{4}$, więc ujemne są wyrazy o numerach $1,2,3$: razem $3$.

b) $(n-2)(n-8)<0\iff2<n<8$, czyli $n=3,4,5,6,7$: razem $5$.

c) $(2n-3)(2n-9)<0\iff\frac32<n<\frac92$, czyli $n=2,3,4$: razem $3$.

Rozpoznajemy prawidłowość zależną od numeru wyrazu.

a) Są to kwadraty: $a_n=n^2$.

b) Mianowniki to kolejne liczby nieparzyste: $a_n=\frac1{2n-1}$.

c) $a_n=\frac n{n+1}$.

d) Wartość bezwzględna wynosi $2n$, a znaki się zmieniają: $a_n=(-1)^{n+1}2n$.

e) $a_n=3^{-n}$.

f) Dla nieparzystych numerów wyraz jest równy $2$. Dla parzystych numerów dodatkowy składnik to $\frac2{n+2}$.

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ dla $n\ge1$.

a)

$$\frac1{n+2}-\frac1{n+1}=-\frac1{(n+1)(n+2)}<0.$$

b)

$$\left(2+\frac4{n+1}\right)-\left(2+\frac4n\right) =-\frac4{n(n+1)}<0.$$

c)

$$\frac5{2n+3}-\frac5{2n+1} =-\frac{10}{(2n+1)(2n+3)}<0.$$

Każda różnica jest ujemna, więc każdy z ciągów jest malejący.

Badamy różnicę kolejnych wyrazów.

a) $a_{n+1}-a_n=2n+2>0$: ciąg rosnący.

b) $a_{n+1}-a_n=3-2n$ zmienia znak: ciąg niemonotoniczny.

c) $a_{n+1}-a_n=2n-5$ zmienia znak: ciąg niemonotoniczny.

d) Różnica ma postać $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}>0$: ciąg rosnący.

e) $a_n=\frac{2(1-3n)}{1-3n}=2$: ciąg stały.

f)

$$a_{n+1}-a_n=\frac{2(1-n-n^2)}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}<0,$$

więc ciąg maleje.

g) Różnica wynosi $3n(n+1)>0$: ciąg rosnący.

h) Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc ciąg rośnie.

i) Wyrazy $1,-1,1,-1,\ldots$ naprzemiennie rosną i maleją.

Korzystamy ze wzoru $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $r=2$, więc $a_n=1+2(n-1)=2n-1$; $a_5=9$, $a_8=15$.

b) $r=-5$, więc $a_n=8-5(n-1)=13-5n$; $a_5=-12$, $a_8=-27$.

c) $r=\frac12$, więc $a_n=-1+\frac{n-1}{2}=\frac{n-3}{2}$; $a_5=1$, $a_8=\frac52$.

a) $a_7=-4+6\cdot2=8$.

b) $a_{10}=3+9\cdot(-5)=-42$.

c) Od $a_2$ do $a_{15}$ wykonujemy $13$ kroków: $a_{15}=3+13\cdot(-2)=-23$.

d) $a_{20}=2+18\cdot(-\frac12)=-7$.

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica $a_{n+1}-a_n$ jest stała.

a) Różnica wynosi $\frac12$, więc ciąg jest arytmetyczny.

b) Różnica wynosi $2n+1$, więc nie jest stała.

c) Różnica wynosi $\sqrt3$, więc ciąg jest arytmetyczny.

d) Różnica wynosi $\frac1{(n+1)(n+2)}$, więc nie jest stała.

a) $a_5=a_1+4r$ daje $1+4r=9$, więc $r=2$ i $a_n=2n-1$; ciąg rośnie.

b) $a_{10}-a_4=6r=18$, zatem $r=3$. Z $a_4=a_1+3r=-6$ mamy $a_1=-15$, więc $a_n=3n-18$; ciąg rośnie.

c) $a_6-a_3=3r=2$, więc $r=\frac23$. Warunek $a_3=a_1+2r=0$ daje $a_1=-\frac43$, a stąd $a_n=\frac23n-2$; ciąg rośnie.