MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 245

a) Z definicji logarytmu

$$x+1=(0{,}5)^{m^2-2}=2^{2-m^2},qquad x=2^{2-m^2}-1.$$

Pierwiastek jest ujemny, gdy $2^{2-m^2}<1$, czyli $m^2>2$.

b) Równanie daje $x=4-\log_2m$, przy czym $m>0$. Warunek $x<0$ jest równoważny $\log_2m>4$, zatem $m>16$.

a) Trójmian $x^2+3x-m$ ma być dodatni dla każdego $x$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, potrzeba

$$\Delta=9+4m<0,$$

czyli $m<-\frac94$.

b) Argument logarytmu jest kwadratem trójmianu, więc jest dodatni dla każdego $x$ dokładnie wtedy, gdy $x^2-3mx+1$ nigdy się nie zeruje. Warunek

$$\Delta=9m^2-4<0$$

daje $-\frac23<m<\frac23$.

a) Dziedzina jest wyznaczona przez $\log_{0{,}5}x>0$, czyli $0<x<1$. Jeśli $0<x_1<x_2<1$, to malejący logarytm wewnętrzny daje

$$\log_{0{,}5}x_1>\log_{0{,}5}x_2>0.$$

Logarytm zewnętrzny o podstawie $0{,}1$ także jest malejący, więc po jego zastosowaniu nierówność odwraca się: $f(x_1)<f(x_2)$.

b) Dziedzina to $x<0$. Dla $x_1<x_2<0$ mamy $-x_1>-x_2>0$. Malejący logarytm o podstawie $0{,}1$ daje ponownie $f(x_1)<f(x_2)$.

Rozwiązujemy równania od logarytmu zewnętrznego do wewnętrznego.

a) $\log_{0{,}5}p=1$, więc $p=\frac12$.

b) $\log_2p=(0{,}5)^1=\frac12$, więc $p=2^{1/2}=\sqrt2$.

c) $\log_{\sqrt2}p=2^2=4$, więc $p=(\sqrt2)^4=4$.

d) Najpierw $\log_2(\log_4p)=3$, potem $\log_4p=8$, zatem $p=4^8=2^{16}=65\,536$.

a) Oznaczmy $L=\log_2q$. Wtedy $\log_{0{,}5}q=-L$ oraz $\log_{\sqrt2}5=2\log_2 5$. Równanie ma postać

$$L=-L+2\log_2 5,$$

więc $L=\log_2 5$ i $q=5$.

b) $\log_{0{,}1}q=-\log q$, natomiast

$$2-2\log5+\log4=\log\frac{100\cdot4}{25}=\log16.$$

Zatem $-\log q=\log16$, czyli $q=\frac1{16}$.

Dla każdego $x$ obie liczby $\sqrt{1+x^2}-x$ i $\sqrt{1+x^2}+x$ są dodatnie, ponieważ $\sqrt{1+x^2}>|x|$. Ich iloczyn wynosi

$$(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)=1+x^2-x^2=1.$$

Są więc wzajemnie odwrotne. Stąd

$$\log(\sqrt{1+x^2}-x) =-\log(\sqrt{1+x^2}+x).$$

Liczby przeciwne mają równe wartości bezwzględne, co dowodzi tezy.

Korzystamy ze wzoru $m(t)=m_0(\frac12)^{t/16}$.

a) Po utracie $75\%$ pozostaje $25\%=\frac14=(\frac12)^2$ masy. Zatem $t/16=2$ i $t=32$ godziny.

b) Po utracie $87{,}5\%$ pozostaje $12{,}5\%=\frac18=(\frac12)^3$. Zatem $t/16=3$ i $t=48$ godzin.

a) $17\,190=3\cdot5730$, więc upłynęły trzy okresy połowicznego rozpadu:

$$96\left(\frac12\right)^3=12\ \mathrm g.$$

b) $22\,920=4\cdot5730$, więc

$$96\left(\frac12\right)^4=6\ \mathrm g.$$

Stosunek masy końcowej do początkowej wynosi

$$\frac6{48}=\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$

W ciągu $24$ dni minęły zatem trzy okresy połowicznego rozpadu. Jeden okres trwa $24:3=8$ dni.