MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 244

Stosujemy zmianę podstawy i własności potęg.

a)

$$\log_2 25\cdot\log_{\sqrt5}2 =2\log_2 5\cdot\frac{2}{\log_2 5}=4.$$

b)

$$\frac{3\log 3}{-2\log2}\cdot \frac{-3\log2}{\frac12\log3}=9.$$

c) $6\log_{81}2+\log_3 2=\frac52\log_3 2$, więc $9^{(5/2)\log_3 2}=3^{5\log_3 2}=32$.

d) Wykładnik jest równy $\frac12\log_5 8-\log_5 4=-\frac12\log_5 2$, zatem wynik to $2^{-1/2}=\frac{\sqrt2}{2}$.

e)

$$(2^{3/2})^{1/(3\log_5 2)} =2^{\frac12\log_2 5}=\sqrt5.$$

f) Tożsamość $a^{\log_c b}=b^{\log_c a}$ pokazuje, że oba składniki są równe, więc różnica wynosi $0$.

Korzystamy ze zmiany podstawy na $2$. Ponieważ $a=\log_2 3$ i $b=\log_2 10$, mamy:

a) $\log3=\frac{\log_2 3}{\log_2 10}=\frac ab$.

b) $\log4=\frac2b$.

c) $\log5=\frac{b-1}{b}=1-\frac1b$.

d) $\log6=\frac{a+1}{b}$.

e) $\log_{1/2}10=\frac b{-1}=-b$.

f) $\log_{1/10}30=\frac{a+b}{-b}=-1-\frac ab$.

a) Z $\log_a2=\frac14$ wynika $a=16$; z $\log_{\sqrt2}b=8$ wynika $b=16$; z $\log_{1/4}c=-2$ wynika $c=16$. Zatem $\sqrt{abc}=\sqrt{16^3}=64$.

b) Iloczyn kolejnych logarytmów teleskopuje:

$$abc=\log_2 6\cdot\log_6 8\cdot\log_8 32=\log_2 32=5,$$

więc $\sqrt{abc}=\sqrt5$.

c)

$$abc=\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 81 =\log_3 81=4,$$

zatem $\sqrt{abc}=2$.

Argument logarytmu musi być dodatni, a miejsce zerowe powstaje, gdy argument jest równy $1$.

a) $1-x^2>0$ daje $D=(-1;1)$; równanie $1-x^2=1$ daje $x=0$.

b) $3-4x>0$ daje $D=(-\infty;\frac34)$; z $3-4x=1$ mamy $x=\frac12$.

c) $|x-7|>0$ daje $D=\mathbb R\setminus\{7\}$; równanie $|x-7|=1$ daje $x=6$ lub $x=8$.

d) $x(x-3)>0$ daje $D=(-\infty;0)\cup(3;\infty)$. Równanie $x^2-3x=1$ ma pierwiastki $\frac{3\pm\sqrt{13}}2$, oba należące do dziedziny.

a) Potrzebujemy $\log_{1/4}(x-3)>0$. Dla podstawy mniejszej od $1$ oznacza to $0<x-3<1$, więc $D=(3;4)$.

b) Warunki to $x-1>0$, $x-1\ne1$ i $3-x>0$. Stąd $D=(1;2)\cup(2;3)$.

c) Warunek pod pierwiastkiem ma postać $\log_{1/3}(10-x^2)\ge0$. Ponieważ podstawa jest mniejsza od $1$,

$$0<10-x^2\le1\iff9\le x^2<10.$$

Zatem $D=(-\sqrt{10};-3]\cup[3;\sqrt{10})$.

d) Podstawa spełnia $x^2-1>0$ i $x^2-1\ne1$, a argument $x+1>0$. Po złączeniu warunków otrzymujemy $D=(1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;\infty)$.

Wykres $y=\log_2x$ jest rosnący i ma zbiór wartości $\mathbb R$.

a) Przesunięcie o wektor $[-3;-1]$ daje dziedzinę $(-3;\infty)$, zbiór wartości $\mathbb R$ i funkcję rosnącą.

b) Najpierw przesuwamy wykres o $2$ w prawo, a potem odbijamy względem osi $OX$ i przesuwamy o $1$ w górę. Dziedzina to $(2;\infty)$, zbiór wartości $\mathbb R$, a funkcja jest malejąca.

c) Dziedzina to $(-2;\infty)$. Wartość pod modułem zeruje się dla $x=-1$. Moduł daje zbiór wartości $[0;\infty)$; funkcja maleje na $(-2;-1]$ i rośnie na $[-1;\infty)$.

a) Dziedzina to $(-1;\infty)$. Wyrażenie pod modułem zeruje się, gdy $\log_2(x+1)=-2$, czyli dla $x=-\frac34$. Stąd zbiór wartości $[0;\infty)$; funkcja maleje na $(-1;-\frac34]$ i rośnie na $[-\frac34;\infty)$.

b) Ponieważ $\frac12\log_2x^2=\log_2|x|$, mamy $f(x)=|1-\log_2|x||$ i $D=\mathbb R\setminus\{0\}$. Zera występują dla $|x|=2$. Funkcja maleje na $(-\infty;-2]$ i $(0;2]$, a rośnie na $[-2;0)$ i $[2;\infty)$; jej zbiór wartości to $[0;\infty)$.

Korzystamy z tożsamości $\frac1{\log_a b}=\log_b a$.

a)

$$\frac1{\log_3 16}+\frac1{\log_5 16} =\log_{16}3+\log_{16}5=\log_{16}15<\log_{16}16=1.$$

b)

$$\frac1{\log_3 2}+\frac1{\log_{\sqrt2}2} =\log_2 3+\log_2\sqrt2=\log_2 3+\frac12.$$

Ponieważ $3>2^{3/2}=\sqrt8$, mamy $\log_2 3>\frac32$, więc suma jest większa od $2$.

a)

$$a=\log_3 15=\log_3(3\cdot5)=1+\log_3 5.$$

Zatem $\log_3 5=a-1$, a więc $\log_3\sqrt5=\frac12\log_3 5=\frac{a-1}{2}$.

b) Oznaczmy $y=\log_9 2=\frac{\ln2}{2\ln3}$. Wtedy

$$a=\log_{18}27=\frac{3\ln3}{\ln2+2\ln3} =\frac{3}{2(y+1)}.$$

Równość $2a(y+1)=3$ daje $y=\frac{3-2a}{2a}$, czego należało dowieść.