MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 243

Z definicji logarytmu wyznaczamy dodatnią podstawę różną od $1$.

a) $a^4=81=3^4$, więc $a=3$. b) $a^{-4}=81$, więc $a=\frac13$. c) $a^{-2}=9$, więc $a=\frac13$. d) $a^{1/2}=9$, więc $a=81$. e) $a^3=\frac8{125}$, więc $a=\frac25$. f) $a^{-1}=\frac8{125}$, więc $a=\frac{125}{8}$.

Stosujemy równoważność $\log_a b=c\iff b=a^c$ i kontrolujemy podstawę.

a) $x=(\frac13)^{-3}=27$. b) $x=(\sqrt3)^3=3\sqrt3$. c) $(x+2)^3=27$, więc $x=1$. d) $(x+1)^2=9$; podstawa musi być dodatnia, zatem $x+1=3$ i $x=2$. e) $x^2-4=5$, stąd $x=-3$ lub $x=3$. f) $(x+1)^2=x^2+3$, więc $2x=2$ i $x=1$.

Łączymy logarytmy, a następnie korzystamy z ich różnowartościowości.

a) $\log_4x=\log_4(6^2:\frac94)=\log_4 16$, więc $x=16$.

b) $1=\log_{0{,}5}0{,}5$, zatem $\log_{0{,}5}x=\log_{0{,}5}(0{,}5\cdot9)$ i $x=\frac92$.

c) $-2=\log0{,}01$, więc $x=0{,}01\cdot5^3:0{,}25=5$.

d) $-1=\log_3\frac13$, zatem $x=4^2:12\cdot\frac13=\frac49$.

a) Dziedzina to $x>-3$. Warunek wartości większej od $1$ daje

$$\log_{1/2}(x+3)>0.$$

Ponieważ podstawa jest mniejsza od $1$, mamy $0<x+3<1$, czyli $-3<x<-2$.

b) Dziedzina to $x>-1$. Dalej

$$\log_2(x+1)-1>1\iff\log_2(x+1)>2\iff x>3.$$

a) Po podstawieniu $t=2^x>0$ mamy

$$2t+\frac1t=3\iff2t^2-3t+1=0,$$

więc $t=1$ lub $t=\frac12$, czyli $x=0$ lub $x=-1$.

b) Dla $x<0$ lewa strona jest większa od $1$, a prawa mniejsza od $1$. Dla $x\ge0$ wykresy $2^x$ i $x+1$ przecinają się w $x=0$ i $x=1$.

c) Dla $x<0$ prawa strona jest ujemna, więc rozwiązań nie ma. Dla $x\ge0$ wykresy $2x$ i $3^x-1$ przecinają się w $x=0$ i $x=1$.

a) $2^{4x^2}=2^{2x}$, więc $4x^2=2x$ i $2x(2x-1)=0$. Stąd $x=0$ lub $x=\frac12$.

b) Lewa strona to $3^{1-x}$, a prawa $3^{4-4x^2}$. Zatem

$$1-x=4-4x^2\iff4x^2-x-3=0,$$

co daje $x=-\frac34$ lub $x=1$.

c)

$$2^{x+1}-3\cdot2^{x-2}=2^{x-2}(8-3)=5\cdot2^{x-2}=80.$$

Stąd $2^{x-2}=16=2^4$ i $x=6$.

a)

$$3^{4x-10}\ge3^{7/2}\iff4x-10\ge\frac72\iff x\ge\frac{27}{8}.$$

b) $(\frac15)^{2-x}=5^{x-2}$ i $0{,}04=5^{-2}$, więc $x-2\le-2$, czyli $x\le0$.

c)

$$5^{2-x^2}\le5^x\iff x^2+x-2\ge0 \iff(x+2)(x-1)\ge0.$$

Stąd $x\le-2$ lub $x\ge1$.

a) Wartość bezwzględna znika dla $2^x=2$, czyli dla $x=1$. Funkcja maleje na $(-\infty;1]$, rośnie na $[1;\infty)$ i ma zbiór wartości $[0;\infty)$. Lewa gałąź dąży do $4$, ale tej wartości nie osiąga; równanie ma jedno rozwiązanie dla $m=0$ lub $m\ge4$.

b)

$$f(x)=|3^{-x}-3|.$$

Minimum $0$ jest dla $x=-1$; funkcja maleje na $(-\infty;-1]$ i rośnie na $[-1;\infty)$, a jej zbiór wartości to $[0;\infty)$. Prawa gałąź dąży do $3$, nie osiągając tej wartości, więc dokładnie jedno rozwiązanie jest dla $m=0$ lub $m\ge3$.

c) Funkcja jest parzysta, rośnie na $(-\infty;0]$, maleje na $[0;\infty)$ i ma zbiór wartości $(4;5]$. Dokładnie jeden punkt poziomu otrzymujemy tylko dla wartości maksymalnej $m=5$.