MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 242

Sprowadzamy każdą liczbę do wspólnej podstawy.

a) $3^{7/4}\cdot(3^2)^{-3/8}=3^{7/4-3/4}=3^1$.

b) $(5^2)^{3/4}:(5^3)^{-5/2}=5^{3/2+15/2}=5^9$.

c) $(2^5)^{7/5}\cdot2^{4/3}=2^{7+4/3}=2^{25/3}$.

d) $2^{6/5}:2^{-3/5}=2^{9/5}$.

e) $3^{9/4}\cdot(3^{2/3})^{-2}=3^{9/4-4/3}=3^{11/12}$.

f) $(5^{-2})^{-1/8}\cdot5^{3/4}=5^{1/4+3/4}=5^1$.

Korzystamy z praw działań na potęgach.

a) Wnętrze nawiasu to $2^{2-\sqrt3}$, więc

$$\left(2^{2-\sqrt3}\right)^{2+\sqrt3} =2^{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=2.$$

b) Po zapisaniu wszystkiego przy podstawie $5$ wykładnik wynosi

$$\frac{\sqrt5}{2}+(\sqrt5+1)+3\left(1-\frac{\sqrt5}{2}\right)=4,$$

zatem wartość to $5^4=625$.

c) Łączny wykładnik przy podstawie $2$ jest równy $-\sqrt5+\sqrt5+2\sqrt2-2\sqrt2=0$, więc wynik to $1$.

d) Iloczyn dodatnich podstaw jest równy $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$, stąd wynik to $1^{\sqrt2}=1$.

Funkcja $a^x$ jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy $a>1$.

a) $2m-3>1$, zatem $m>2$.

b) $(1-4m)^{-x}=\left(\frac1{1-4m}\right)^x$. Warunek $\frac1{1-4m}>1$ jest równoważny $0<1-4m<1$, czyli $0<m<\frac14$.

c) $2-m^2>1$, więc $m^2<1$ i $-1<m<1$.

Dla $a>1$ potęga rośnie wraz z wykładnikiem, a dla $0<a<1$ maleje.

a) Ponieważ $\sqrt2<\sqrt3$ i zachowany jest zwrot nierówności, $a>1$.

b) Mamy $\frac1{\sqrt2}>\frac1{\sqrt3}$, lecz potęga z większym wykładnikiem jest mniejsza, więc $0<a<1$.

c) Jest $-2>-3$, ale $a^{-2}<a^{-3}$, zatem $0<a<1$.

d) Jest $3>-2$ i $a^3>a^{-2}$, zatem $a>1$.

a) $(\frac12)^{\sqrt2}<1$, natomiast $(\sqrt2)^{0{,}5}=2^{1/4}>1$, więc pierwszy znak to $<$.

b) $0{,}6^{-3}=(\frac53)^3>(\frac53)^2$, więc wpisujemy $>$.

c) $0{,}4^{-2{,}5}=(\frac52)^{2{,}5}=2{,}5^{2{,}5}$, więc wpisujemy $=$.

a) Wszystkie liczby zapisujemy jako potęgi liczby $3$:

$$9\sqrt3=3^{5/2},\quad 27^{3/2}=3^{9/2},\quad 9^{2{,}1}=3^{4{,}2}.$$

Ponieważ $\sqrt3<\frac52<4{,}2<\frac92$, otrzymujemy żądaną kolejność.

b) Wszystkie liczby mają podstawę $\frac45\in(0;1)$:

$$\left(\frac{16}{25}\right)^{1{,}5}=\left(\frac45\right)^3, \quad \left(\frac54\right)^{-1{,}8}=\left(\frac45\right)^{1{,}8}.$$

Dla podstawy mniejszej od $1$ większy wykładnik daje mniejszą wartość; $3>\sqrt5>1{,}8>\sqrt2$.

W każdym podpunkcie rozwiązujemy nierówność $f(x)>1$; wykres potwierdza otrzymaną półprostą.

a) $2-2^{-x}>1\iff2^{-x}<1\iff x>0$.

b) $27\cdot3^x-2>1\iff3^x>3^{-2}\iff x>-2$.

c) $-2^{x+1}+3>1\iff2^{x+1}<2\iff x<0$.

a) $9\cdot3^x-1>0\iff3^{x+2}>1\iff x>-2$.

b) $\sqrt2-4^{-x}>0\iff2^{1/2}>2^{-2x}$, więc $\frac12>-2x$ i $x>-\frac14$.

c)

$$5^{2x+1}-5^x=5^x(5^{x+1}-1).$$

Pierwszy czynnik jest dodatni, a drugi jest dodatni dla $x>-1$.

a) Z wykresów $y=4\cdot2^x-1$ i $y=3^{x+1}$ odczytujemy dwa punkty przecięcia. Bezpośrednia kontrola daje

$$x=-1:\ 1=1,\qquad x=0:\ 3=3.$$

Wykres nie ma innych punktów wspólnych.

b) Po zapisaniu obu stron jako potęg otrzymujemy

$$(2x-4)\log2=(2-x)\log3.$$

Stąd $(x-2)(2\log2+\log3)=0$, zatem $x=2$.

Korzystamy z definicji $\log_a b=c\iff a^c=b$.

a) $16=2^4$, więc wynik to $4$. b) $2=16^{1/4}$, więc $\frac14$. c) $\frac18=2^{-3}$, więc $-3$. d) $(2^{-4})^{-1/4}=2$, więc $-\frac14$. e) $(2^{-1})^{-5}=2^5$, więc $-5$. f) $(2^3)^{1/6}=2^{1/2}$, więc $\frac16$. g) $(2^{1/2})^8=2^4$, więc $8$. h) $(2^5)^{3/10}=2^{3/2}=2\sqrt2$, więc $\frac3{10}$.

Łączymy logarytmy o tej samej podstawie.

a)

$$\log_{0{,}4}\frac53+\log_{0{,}4}3-\log_{0{,}4}2 =\log_{0{,}4}\frac52=-1.$$

b) $\log_9(15:\frac{20}{3}\cdot6^2)=\log_9 81=2$.

c) $\log(2^3:0{,}2\cdot25)=\log1000=3$.

d) $\log_{\sqrt2}(6\cdot2^2:3)=\log_{\sqrt2}8=6$.