MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 240

Stosujemy wzory iloczyn–suma, a potem wybieramy rozwiązania z $\left\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\right\rangle$.

a)

=2(\sin7x-\sin3x)+2\sin3x=2\sin7x.$$ Zatem $\sin7x=\frac{\sqrt2}{2}$, czyli $x=\frac\pi{28}+\frac{2k\pi}{7}$ lub $x=\frac{3\pi}{28}+\frac{2k\pi}{7}$. **b)** $$2\sin3x+4\sin x\cos4x =2\sin3x+2(\sin5x-\sin3x)=2\sin5x.$$ Stąd $\sin5x=\frac12$, więc $x=\frac\pi{30}+\frac{2k\pi}{5}$ lub $x=\frac\pi6+\frac{2k\pi}{5}$. **c)** $$4\cos6x\cos2x-1=2\cos8x+2\cos4x-1.$$ Po skróceniu $2\cos8x$ otrzymujemy $\cos4x=\frac12$, czyli $x=\pm\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{2}$. **d)** $$\sin3x\cos x=\frac12(\sin4x+\sin2x),\qquad \sin x\cos x=\frac12\sin2x.$$ Po skróceniu otrzymujemy $\sin4x=-1$, więc $x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$.

Rozwiązujemy w $(0;2\pi)$.

a) Ponieważ $8\sin\frac x2\cos\frac x2=4\sin x$, nierówność upraszcza się do

$\sin^2x-4\sin x+4\le\frac92-4\sin x,$ $\sin^2x\le\frac12.$

Zatem $|\sin x|\le\frac{\sqrt2}{2}$.

b) Korzystamy z $8\sin^2x=4-4\cos2x$:

$\cos^22x-4\cos2x+4\le\frac{17}{4}-4\cos2x,$

czyli $|\cos2x|\le\frac12$.

c) $\cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\le1,$

więc nierówność zachodzi dla każdego $x$ z danego przedziału.

d)

=\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)=\frac14\sin4x.$$ Nierówność wymaga $\sin4x\ge1$, zatem $\sin4x=1$.

a) Z definicji wartości bezwzględnej:

\begin{cases} 0,&\sin2x\ge0,\\ 2\sin2x,&\sin2x<0. \end{cases}$$ Obie części układu powtarzają się po przesunięciu o $\pi$, więc funkcja jest okresowa i ma okres podstawowy $T=\pi$. **b)** $$f(x)= \begin{cases} 0,&\cos x\ge0,\\ -2\cos x,&\cos x<0. \end{cases}$$ Układ dodatniej i zerowej półfali powtarza się po $2\pi$, a nie po $\pi$. Okres podstawowy wynosi $2\pi$.

a) Ze wzoru na cosinus różnicy:

=\left|\cos\left(2x-\frac\pi3\right)\right| =\left|\cos2\left(x-\frac\pi6\right)\right|.$$ Zera spełniają $2x-\frac\pi3=\frac\pi2+k\pi$, czyli $x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$. W przedziale $\langle1;5\rangle$ otrzymujemy trzy wartości. **b)** Dla $u=x+\frac\pi3$: $$f(x)=4|\sin u\cos u|=2|\sin2u|=2\left|\sin2\left(x+\frac\pi3\right)\right|.$$ Zera spełniają $2x+\frac{2\pi}{3}=k\pi$, czyli $x=-\frac\pi3+\frac{k\pi}{2}$. W zadanym przedziale leżą dwie wartości.

a) $\cos\pi x\ge0$, gdy $\pi x\in\left\langle-\frac\pi2+2k\pi;\frac\pi2+2k\pi\right\rangle$. Po podzieleniu przez $\pi$:

$x\in\left\langle-\frac12+2k;\frac12+2k\right\rangle.$

b) $\sin2\pi x\ge0$, gdy $2\pi x\in\langle2k\pi;(2k+1)\pi\rangle$. Stąd

$x\in\left\langle k;k+\frac12\right\rangle.$

W obu zapisach $k\in\mathbb Z$.

a) Ze skanu odczytujemy $f(0)=-3$, więc $a=-3$. Minimum jest przy $x=0$, a najbliższe maksimum przy $x=2\pi$; jest to połowa okresu, zatem $T=4\pi$. Ponieważ $T=\frac{2\pi}{|b|}$, mamy $|b|=\frac12$. Cosinus jest parzysty, więc oba znaki $b$ opisują ten sam wykres.

b) Przyjmujemy $b=\frac12$. Wtedy

\iff-6\cos\frac x2>3 \iff\cos\frac x2<-\frac12.$$ Zatem $$\frac x2\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right),$$ czyli $x\in\left(\frac{4\pi}{3}+4k\pi;\frac{8\pi}{3}+4k\pi\right)$, gdzie $k\in\mathbb Z$.

Warunki dziedziny wymagają $\cos x\cos y\ne0$. Prawą stronę zapisujemy jako

=\frac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\cos x\cos y} =\frac{\cos(x+y)}{\cos x\cos y}.$$ Równanie przyjmuje więc postać $$\frac1{2\cos x\cos y}=\frac{\cos(x+y)}{\cos x\cos y},$$ czyli $\cos(x+y)=\frac12$. Stąd $$x+y=\pm\frac\pi3+2k\pi.$$ Najmniejszą dodatnią wartością tej sumy jest $\frac\pi3$; można dobrać $x,y$ spełniające warunki dziedziny, na przykład $x=y=\frac\pi6$.

Z założenia $x-y=\frac\pi2$, więc $y=x-\frac\pi2$. Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\sin^4(x+y)-\cos^4(x+y) =(\sin^2(x+y)-\cos^2(x+y))(\sin^2(x+y)+\cos^2(x+y)) =-\cos(2x+2y).$$

Ponieważ

$2x+2y=2x+2\left(x-\frac\pi2\right)=4x-\pi,$

otrzymujemy

$-\cos(4x-\pi)=-(-\cos4x)=\cos4x.$

Lewa strona jest więc równa prawej, co kończy dowód.

Najpierw obliczamy parametr. W liczniku:

$(\sin15^\circ+\cos15^\circ)^2=1+\sin30^\circ=\frac32.$

W mianowniku stosujemy wzór na sinus sumy:

=\sin150^\circ=\frac12.$$ Zatem $a=3$. W dziedzinie równania $\sin x\ne0$ i $\cos x\ne0$. Ponieważ $$\frac{3\sin2x}{\operatorname{tg}x} =\frac{6\sin x\cos x}{\sin x/\cos x}=6\cos^2x,$$ równanie ma postać $$6\cos^2x-8\cos^4x=0,$$ $$2\cos^2x(3-4\cos^2x)=0.$$ Pierwszy czynnik nie może być zerem w dziedzinie. Stąd $\cos^2x=\frac34$. Spośród rozwiązań największym ujemnym jest $-\frac\pi6$.

W IV ćwiartce $\cos\alpha>0$ i $\sin\alpha<0$. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

$$\frac{2\cos\alpha}{1-\sin\alpha}+\frac{2\cos\alpha}{1+\sin\alpha} =\frac{4\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha} =\frac4{\cos\alpha}.$$

Zatem $\frac4{\cos\alpha}=5$, więc $\cos\alpha=\frac45$. Z jedynki trygonometrycznej i informacji o ćwiartce otrzymujemy $\sin\alpha=-\frac35$. Stąd

$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac35+\frac45=\frac15.$

Skan strony potwierdza, że we wzorze funkcji $f$ występuje wartość bezwzględna. Ze wzoru na sumę sinusów:

$$f(x)=\sqrt2\left|2\sin x\cos\frac\pi4\right| =2|\sin x|.$$

W funkcji $g$ oznaczmy $A=x-\frac\pi6$ i $B=x-\frac\pi3$. Wtedy $\sin(\frac\pi3-x)=-\sin B$ oraz $\cos(\frac\pi6-x)=\cos A$, więc

$$g(x)=2(\sin A\cos B-\sin B\cos A) =2\sin(A-B)=2\sin\frac\pi6=1.$$

Nierówność jest zatem równoważna

$2|\sin x|\le1\iff|\sin x|\le\frac12.$

Po przecięciu rozwiązania z $\langle-\pi;\pi\rangle$ otrzymujemy trzy przedziały.