MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 239

Ponieważ $x$ leży w II ćwiartce, $\cos x=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35$.

a)

=\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x =\frac{-3-4\sqrt3}{10}.$$ **b)** $$\sin\left(\frac\pi6-x\right) =\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x =\frac{-3-4\sqrt3}{10}.$$ **c)** $$\cos\left(\frac\pi4-x\right) =\frac{\sqrt2}{2}(\cos x+\sin x) =\frac{\sqrt2}{10}.$$ **d)** $\sin2x=2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}$.

a) Z $\cos2x=1-2\sin^2x=\frac35$ mamy $\sin^2x=\frac15$. W I ćwiartce obie funkcje są dodatnie, zatem $\sin x=\frac{\sqrt5}{5}$ i $\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$.

b) W II ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny. Te same kwadraty dają $\sin x=\frac{\sqrt5}{5}$, $\cos x=-\frac{2\sqrt5}{5}$.

c) Dla $u=\frac x2$ mamy $\sin u=\frac5{13}$ i, ponieważ $u$ leży w I ćwiartce, $\cos u=\frac{12}{13}$. Stąd

\cos x=1-2\sin^2u=\frac{119}{169}.$$ **d)** Teraz $u\in(\frac{3\pi}{4};\pi)$, więc $\cos u=-\frac{12}{13}$. Otrzymujemy $\sin x=-\frac{120}{169}$ i $\cos x=\frac{119}{169}$.

W poniższych rozwiązaniach $k\in\mathbb Z$.

a) Z $\sin^2x=1-\cos^2x$ otrzymujemy $\cos x(\cos x-1)=0$. Zatem $\cos x=0$ albo $\cos x=1$.

b) $2\sin^2x=1-2\sin^2x$, więc $\sin^2x=\frac14$.

c) $2\cos^2x=2\sin x\cos x$, czyli $2\cos x(\cos x-\sin x)=0$. Stąd $\cos x=0$ albo $\operatorname{tg}x=1$.

d) Rozwiązując $\sin4x=\sin(\frac\pi2-2x)$, dostajemy $x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac\pi4+k\pi$. Po rozdzieleniu nakładających się rodzin otrzymujemy zapis z odpowiedzi.

e) $\sin x\cos x=\frac14\iff\sin2x=\frac12$.

f) W dziedzinie tangensa $\sin2x\operatorname{tg}x=2\sin^2x$. Zatem $\sin^2x=\frac12$.

Rozwiązujemy w $(0;2\pi)$, pamiętając, że $\sin x,\cos x\in\langle-1;1\rangle$.

a) $(\cos x+1)^2=0$, więc $\cos x=-1$.

b) Dla $t=\sin x$ równanie $2t^2-2\sqrt2t+1=0$ ma podwójny pierwiastek $t=\frac{\sqrt2}{2}$.

c) $2\sin^2x+\sin x-1=0$, czyli $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0$.

d) Lewa strona jest nieujemna, a $\sin x-1\le0$. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $\cos x=0$ i $\sin x=1$.

e) Dla $t=\cos x$ mamy $2t^2+\sqrt2t-2=0$. Pierwiastki to $\frac{\sqrt2}{2}$ oraz $-\sqrt2$; drugi leży poza zbiorem wartości cosinusa.

f) Po podstawieniu $\sin^2x=1-\cos^2x$:

$2\cos^3x+3\cos^2x-2\cos x=0,$ $\cos x(2\cos x-1)(\cos x+2)=0.$

Wartość $\cos x=-2$ odrzucamy.

W każdym podpunkcie $k\in\mathbb Z$.

a) $\cos2x=2\cos^2x-1$ daje

$2\cos^2x-2\sqrt2\cos x+1=0,$

czyli $(\sqrt2\cos x-1)^2=0$.

b) $\sin^2x(2\sin^2x-1)=0$.

c) $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x$, więc $\cos2x=\frac12$.

d) Dla $u=\cos^2x$ mamy $(4u-3)(u-1)=0$.

e) Dla $t=\operatorname{tg}x$ otrzymujemy $t(t^2-3)=0$.

f) $3t^3-3t^2-t+1=(t-1)(3t^2-1)=0.$

Rozwiązujemy w $\langle0;\pi\rangle$ i wybieramy największy pierwiastek.

a)

=\cos x(2\sin x+\sqrt3)=0.$$ W tym przedziale równanie $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$ nie ma rozwiązań, a $\cos x=0$ daje $x=\frac\pi2$. **b)** Po użyciu $\cos2x=1-2\sin^2x$: $$2\sin^2x-7\sin x-4=0.$$ Pierwiastki dla $\sin x$ to $4$ i $-\frac12$; żaden nie jest osiągany dla $x\in\langle0;\pi\rangle$. **c)** Po zastąpieniu $\cos^2x=1-\sin^2x$: $$\sin x(2\sin x+1)(\sin x-2)=0.$$ W przedziale rozwiązaniami są $0$ i $\pi$, więc największe to $\pi$. **d)** $$2\cos^3x-2\cos^2x-\cos x+1 =(\cos x-1)(2\cos^2x-1).$$ W przedziale rozwiązania to $0$, $\frac\pi4$ i $\frac{3\pi}{4}$; największe wynosi $\frac{3\pi}{4}$.

W poniższych rozwiązaniach $k\in\mathbb Z$.

a) Dla $u=\sin^2x$:

$4u(1-u)+6u=6,$ $2u^2-5u+3=0.$

Pierwiastki to $u=1$ i $u=\frac32$; drugi odrzucamy. Zatem $\sin^2x=1$.

b) Dla $t=\cos2x$ korzystamy z $\sin^22x=1-t^2$:

$2(1-t^2)+3t=0,$ $(2t+1)(t-2)=0.$

Możliwa jest tylko wartość $t=-\frac12$.

c) $\sin^4x+\cos^4x=\frac{1+\cos^22x}{2}$. Równanie daje $(\cos2x-1)^2=0$.

d) $\sin8x-\sin4x=2\cos6x\sin2x=0.$

Rozwiązania $\sin2x=0$ i $\cos6x=0$ porządkujemy w trzy rodziny podane w odpowiedzi.

Najpierw zapisujemy warunki dziedziny, a dopiero potem zerujemy licznik lub przekształcamy równanie.

a) $\sin2x\ne0$. Licznik ma postać $\sin x(2\sin x+1)$. Rozwiązania $\sin x=0$ są wykluczone przez mianownik, pozostaje $\sin x=-\frac12$.

b) Mianownik $(2\cos x-1)(2\cos x+1)$ musi być niezerowy. Licznik to $(2\cos x-1)(\cos x-1)$; pierwszy czynnik jest wykluczony, więc $\cos x=1$.

c) Niech $t=\operatorname{tg}x$, przy $t^2\ne3$. Po pomnożeniu przez mianownik mamy $t^2=\sqrt3t$. Rozwiązanie $t=\sqrt3$ jest wykluczone, pozostaje $t=0$.

d) Zakładamy $\sin x\ne0$ i używamy $\cos2x+1=2\cos^2x$:

$2\sqrt2-2\sin x=\frac{2\cos^2x}{\sin x}.$

Po pomnożeniu przez $\sin x$ oraz użyciu $\sin^2x+\cos^2x=1$ otrzymujemy $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$.

a) Rozwijamy prawą stronę wzorem na cosinus różnicy:

$$\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi4\right) =\sqrt2\left(\cos x\frac{\sqrt2}{2}+\sin x\frac{\sqrt2}{2}\right) =\cos x+\sin x.$$

b) Ze wzoru na sinus różnicy:

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac\pi4\right) =\sqrt2\left(\sin x\frac{\sqrt2}{2}-\cos x\frac{\sqrt2}{2}\right) =\sin x-\cos x.$$

W obu przypadkach prawa strona przekształciła się w lewą, więc równości zostały wykazane.

Korzystamy z równości wykazanych w zadaniu 40; $k\in\mathbb Z$.

a) $\sqrt2\cos(x-\frac\pi4)=0$, więc $x-\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi$.

b) $\sqrt2\sin(x-\frac\pi4)=1$, zatem $\sin(x-\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}$. Otrzymujemy $x=\frac\pi2+2k\pi$ albo $x=\pi+2k\pi$.

c) $\sqrt2\cos(x-\frac\pi4)=\sqrt2$, więc $\cos(x-\frac\pi4)=1$ i $x=\frac\pi4+2k\pi$.