MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 24

Każda osoba niezależnie wybiera jedno z pięter.

a) Sześć osób ma po $10$ możliwości, więc sposobów jest $10^6=1\,000\,000$.

b) Dziesięć osób ma po $6$ możliwości, więc sposobów jest $6^{10}=60\,466\,176$.

Każdy pasażer niezależnie wybiera stację. Zatem

$m=4^5=1024,qquad n=5^4=625.$

Różnica wynosi

$m-n=1024-625=399<400,$

co dowodzi tezy.

Dla liczby o dokładnie $k\ge2$ cyfrach pierwszą cyfrą musi być $1$, a każda z pozostałych $k-1$ cyfr ma dwie możliwości. Liczb takich jest $2^{k-1}$. Uwzględniamy też dwie liczby jednocyfrowe: $0$ i $1$.

Dlatego liczb mających co najwyżej $r$ cyfr jest

$2+2+2^2+\ldots+2^{r-1}=2^r.$

Podstawiamy kolejno $r=5$, $r=11$ oraz $r=n$.

Dla liczby $k$-cyfrowej pierwszą cyfrą może być $1$ albo $2$, a każda z pozostałych $k-1$ cyfr ma trzy możliwości. Liczb jest więc $2\cdot3^{k-1}$.

a) $2\cdot3^4=162$.

b) $2\cdot3^{10}=118\,098$.

c) $2\cdot3^{n-1}$.

Każda cyfra należy do zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$.

a) Pierwszą cyfrą musi być $6$, a pozostałe są dowolne: $6^3=216$.

b) Dla pierwszej cyfry $4$, $5$ lub $6$ mamy $3\cdot6^3$ liczb. Gdy pierwszą cyfrą jest $3$, druga musi być $5$ lub $6$, co daje $2\cdot6^2$ liczb. Razem $3\cdot216+2\cdot36=720$.

c) Spośród cyfr $1$–$6$ tylko zakończenie $25$ daje podzielność przez $25$. Pierwsze dwie cyfry są dowolne, więc liczb jest $6^2=36$.

d) Dopuszczalne zakończenia podzielne przez $4$ to $12,16,24,32,36,44,52,56,64$, czyli dziewięć par. Pierwsze dwie cyfry wybieramy dowolnie, więc otrzymujemy $9\cdot6^2=324$ liczby.

a) Dla pierwszej cyfry $1$, $2$ lub $3$ mamy $3\cdot10^4$ liczb. Dla pierwszej cyfry $4$ druga może być od $0$ do $7$, co daje $8\cdot10^3$. Łącznie jest $30\,000+8000=38\,000$ liczb.

b) Dla pierwszej cyfry od $6$ do $9$ mamy $4\cdot10^4$ liczb. Zaczynające się od $57$, $58$, $59$ dają $3\cdot10^3$, zaczynające się od $568$ lub $569$ dają $2\cdot10^2$, a z prefiksem $567$ dopuszczalne są zakończenia od $01$ do $99$, czyli $99$ liczb. Razem:

$40\,000+3000+200+99=43\,299.$

c) Iloczyn jest nieparzysty dokładnie wtedy, gdy wszystkie cyfry są nieparzyste. Każda pozycja ma $5$ możliwości, więc liczb jest $5^5=3125$.

d) Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest $9\cdot10^4=90\,000$. Iloczyn parzysty ma więc $90\,000-3125=86\,875$ liczb.

Palindrom pięciocyfrowy ma postać $abcba$, a sześciocyfrowy $abccba$. W obu przypadkach całą liczbę wyznaczają pierwsze trzy cyfry. Pierwsza ma $9$ możliwości, a dwie dalsze po $10$, więc w każdej grupie jest

$9\cdot10\cdot10=900$

liczb.

Każda z trzech różnych kul niezależnie wybiera szufladę. Liczby rozmieszczeń to odpowiednio $n^3$ i $(n+1)^3$. Z warunku:

$$(n+1)^3-n^3=331,$$

czyli

$3n^2+3n+1=331,qquad n(n+1)=110.$

Ponieważ $10\cdot11=110$, otrzymujemy $n=10$.

Jeżeli $x=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$, to liczba jego naturalnych dzielników wynosi $(a_1+1)\cdots(a_r+1)$.

a) Każdy z trzech wykładników jest równy $3$, więc dzielników jest $4^3=64$.

b) Rozkładamy

$810\,000=81\cdot10\,000=2^4\cdot3^4\cdot5^4.$

Zatem liczba dzielników wynosi $5^3=125$.

Możliwe noty to

$0,\ 0{,}5,\ 1,\ 1{,}5,\ldots,20,$

czyli $\frac{20-0}{0{,}5}+1=41$ wartości. Każdy z pięciu sędziów wybiera notę niezależnie, zatem sposobów jest $41^5$.