MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 23

a) Bez cyfry $0$ każda pozycja ma $9$ możliwości: $9^3=729$.

b) Bez cyfr $0$, $4$ każda pozycja ma $8$ możliwości: $8^3=512$.

c) Bez cyfr $0$, $4$, $5$ każda pozycja ma $7$ możliwości: $7^3=343$.

d) Bez cyfr $4$, $5$ pierwszą cyfrę wybieramy na $7$ sposobów, ponieważ nie może nią być także $0$. Każda z dwóch dalszych pozycji ma $8$ możliwości. Zatem otrzymujemy $7\cdot8^2=448$ liczb.

a) Dwie pierwsze cyfry są ustalone, a każdą z pozostałych trzech wybieramy na $10$ sposobów. Liczb jest $10^3=1000$.

b) Pierwszą cyfrę wybieramy na $9$ sposobów, trzy środkowe na $10^3$ sposobów, a ostatnia jest ustalona. Zatem liczb jest $9\cdot10^3=9000$.

Liczba $k$-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$-elementowego wynosi $n^k$.

a) $10^2=100$.

b) $2^{10}=1024$.

a) Porównujemy $3^2=9$ oraz $2^3=8$. Większa jest liczba wariacji dwuelementowych zbioru trzyelementowego.

b) Porównujemy $4^3=64$ oraz $3^4=81$. Większa jest liczba wariacji czteroelementowych zbioru trzyelementowego.

Przy losowaniu ze zwracaniem każdy z czterech wyników wybieramy spośród sześciu numerów, więc możliwych liczb jest

$6^4=1296.$

Bez zwracania wybieramy cztery różne numery w kolejności, zatem liczb jest

$6\cdot5\cdot4\cdot3=360.$

Ponieważ $3\cdot360=1080<1296$, przy losowaniu ze zwracaniem możliwości jest ponad trzykrotnie więcej.

Każdej rozróżnialnej kuli niezależnie przypisujemy jedną szufladę.

a) Każda z dziewięciu kul ma $3$ możliwości, więc rozmieszczeń jest $3^9=19\,683$.

b) Każda z trzech kul ma $9$ możliwości, więc rozmieszczeń jest $9^3=729$.