MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 238

a) Rozwijamy prawą stronę wzorem na sinus sumy:

=2\left(\sin x\cdot\frac12+\cos x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) =\sin x+\sqrt3\cos x.$$ **b)** $$-2\cos\left(x+\frac\pi6\right) =-2\left(\cos x\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sin x\cdot\frac12\right) =\sin x-\sqrt3\cos x.$$ **c)** Dla wartości $x$, dla których oba ułamki istnieją, mnożymy lewą stronę przez $\frac{1-\cos2x}{1-\cos2x}$:

\frac{\sin2x}{1+\cos2x} =\frac{\sin2x(1-\cos2x)}{1-\cos^22x} =\frac{\sin2x(1-\cos2x)}{\sin^22x} =\frac{1-\cos2x}{\sin2x}.

**d)** Dla $\cos x\ne0$:

\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x} =\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}} =\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x} =\cos2x.

$$W każdym podpunkcie otrzymaliśmy drugą stronę równości, więc tożsamości są wykazane w ich dziedzinach.$$

W każdym podpunkcie zakładamy, że mianowniki występujące w równaniu są niezerowe.

a)

=\frac2{1-\cos^2x}=\frac2{\sin^2x}.$$ **b)** $$\frac{\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x} =\frac{\sin x/\cos x}{1/\cos^2x}=\sin x\cos x.$$ **c)** $$\frac{1-\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\sin x} =\frac{(1-\sin x)^2+\cos^2x}{\cos x(1-\sin x)} =\frac{2(1-\sin x)}{\cos x(1-\sin x)}=\frac2{\cos x}.$$ **d)** $$\operatorname{tg}^2x-\sin^2x =\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\sin^2x =\frac{\sin^4x}{\cos^2x} =\operatorname{tg}^2x\sin^2x.$$ **e)** $$\operatorname{tg}x(\cos x+\cos^2x) =\sin x+\sin x\cos x =\sin x+\frac12\sin2x.$$ **f)** Ponieważ $\cos^22x=(\cos^2x-\sin^2x)^2$, $$1+\cos^22x =(\sin^2x+\cos^2x)^2+(\cos^2x-\sin^2x)^2 =2(\sin^4x+\cos^4x).$$ Każda lewa strona została przekształcona w prawą, co kończy dowody.

a) Z wzoru połowy kąta, przy dodatnim sinusie:

$\sin\frac\pi8=\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2.$

b) $\cos\frac{7\pi}{12}=\cos(\frac\pi3+\frac\pi4)=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

c) Ze wzoru na sinus sumy:

$\sin13^\circ\cos17^\circ+\sin17^\circ\cos13^\circ=\sin30^\circ=\frac12.$

d) Wyrażenie jest równe

=-\cos\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}{2}.$$ **e)** $\sin105^\circ\cos105^\circ=\frac12\sin210^\circ=-\frac14$. **f)** Stosujemy $\cos^2u=\frac{1+\cos2u}{2}$: $$\cos^2105^\circ-\cos^2195^\circ =\frac{\cos210^\circ-\cos390^\circ}{2} =-\frac{\sqrt3}{2}.$$