MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 237

Korzystamy ze zbiorów wartości funkcji podstawowych: $\sin x,\cos x\in\langle-1;1\rangle$ oraz $\operatorname{tg}x\in\mathbb R$. Mnożenie zmienia amplitudę, a dodawanie stałej przesuwa wykres pionowo.

a) $\sin x+2\in\langle1;3\rangle$.

b) $\cos x-1\in\langle-2;0\rangle$.

c) $\frac32\sin x-\frac12\in\langle-2;1\rangle$.

d) Przeskalowany i przesunięty tangens nadal przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.

e) $3\cos x-2\in\langle-5;1\rangle$.

f) $2\cos x+3\in\langle1;5\rangle$.

Miejsca zerowe wyznaczamy z argumentu odpowiedniej funkcji podstawowej.

a)

\iff x-\frac\pi4=k\pi \iff x=\frac\pi4+k\pi.$$ **b)** $$\cos\left(x+\frac\pi3\right)=0 \iff x+\frac\pi3=\frac\pi2+k\pi \iff x=\frac\pi6+k\pi.$$ **c)** $$\operatorname{tg}\left(x+\frac\pi6\right)=0 \iff x+\frac\pi6=k\pi \iff x=-\frac\pi6+k\pi.$$ W każdym przypadku $k\in\mathbb Z$.

Dla $A\sin(bx+c)$ i $A\cos(bx+c)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$, a dla tangensa $\frac\pi{|b|}$. Przedziały monotoniczności otrzymujemy przez odpowiednie skalowanie i przesunięcie przedziałów funkcji podstawowej.

a) $T=\pi$, $f(D)=\langle-2;2\rangle$. Funkcja maleje w $\left\langle-\frac\pi4+k\pi;\frac\pi4+k\pi\right\rangle$ i rośnie w $\left\langle\frac\pi4+k\pi;\frac{3\pi}{4}+k\pi\right\rangle$.

b) $T=4\pi$, $f(D)=\langle-3;3\rangle$. Maleje w $\langle-2\pi+4k\pi;4k\pi\rangle$, rośnie w $\langle4k\pi;2\pi+4k\pi\rangle$.

c) $T=\frac\pi2$, $f(D)=\mathbb R$. Rośnie na każdej gałęzi $\left(-\frac\pi4+\frac{k\pi}{2};\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\right)$.

d) $T=\pi$, $f(D)=\langle-1;1\rangle$. Rośnie w $\left\langle-\frac{5\pi}{12}+k\pi;\frac\pi{12}+k\pi\right\rangle$, maleje w $\left\langle\frac\pi{12}+k\pi;\frac{7\pi}{12}+k\pi\right\rangle$.

e) $T=\pi$, $f(D)=\langle-1;1\rangle$. Rośnie w $\left\langle-\frac\pi4+k\pi;\frac\pi4+k\pi\right\rangle$, maleje w $\left\langle\frac\pi4+k\pi;\frac{3\pi}{4}+k\pi\right\rangle$.

f) $T=4\pi$, $f(D)=\langle-1;1\rangle$. Rośnie w $\left\langle-\frac{3\pi}{2}+4k\pi;\frac\pi2+4k\pi\right\rangle$, maleje w $\left\langle\frac\pi2+4k\pi;\frac{5\pi}{2}+4k\pi\right\rangle$.

g) $T=2\pi$, $f(D)=\mathbb R$. Funkcja rośnie na każdej gałęzi $(2k\pi;2(k+1)\pi)$.

h) $T=\pi$, $f(D)=\langle1;3\rangle$. Maleje w $\left\langle-\frac\pi3+k\pi;\frac\pi6+k\pi\right\rangle$, rośnie w $\left\langle\frac\pi6+k\pi;\frac{2\pi}{3}+k\pi\right\rangle$.

We wszystkich zapisach $k\in\mathbb Z$.

W każdym podpunkcie sprowadzamy równanie do wartości funkcji podstawowej; $k\in\mathbb Z$.

a) $3x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $3x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$.

b) $3x-\frac\pi2=k\pi$.

c) $x-\frac\pi6=\pm\frac\pi3+2k\pi$.

d) $\cos^2(2x-\frac\pi4)=1$ daje $2x-\frac\pi4=k\pi$.

e) $\cos(3x-\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}{2}$, więc argument jest równy $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ albo $\frac{7\pi}{6}+2k\pi$.

f) $\operatorname{tg}(3x+\frac{2\pi}{3})=\frac1{\sqrt3}$, więc $3x+\frac{2\pi}{3}=\frac\pi6+k\pi$.

g) $\sin^22x=\frac12$, zatem $2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$.

h) $\operatorname{tg}^22x=1$, zatem $2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$.

i) Ponieważ $\cos2x\le1$, równanie jest równoważne $\cos2x=\frac12$, czyli $2x=\pm\frac\pi3+2k\pi$.

Każdą nierówność rozwiązujemy na okręgu jednostkowym, a następnie przecinamy wynik z $\langle-2\pi;2\pi\rangle$.

a) $\sin x\le\frac12$; punkty graniczne mają argumenty $\frac\pi6$ i $\frac{5\pi}{6}$ modulo $2\pi$.

b) $\cos x\ge\frac{\sqrt2}{2}$; punkty graniczne to $\pm\frac\pi4$ modulo $2\pi$.

c) $\cos4x>-\frac12$; dla argumentu $4x$ wykluczamy łuki od $\frac{2\pi}{3}$ do $\frac{4\pi}{3}$ modulo $2\pi$.

d) $\sin2x<\frac{\sqrt3}{2}$; równość zachodzi dla $2x=\frac\pi3$ lub $\frac{2\pi}{3}$ modulo $2\pi$.

e) $\cos\frac x2>\frac12$. Ponieważ $\frac x2\in\langle-\pi;\pi\rangle$, otrzymujemy $-\frac\pi3<\frac x2<\frac\pi3$.

f) $\operatorname{tg}x\le\frac1{\sqrt3}$, z zachowaniem przerw w punktach $\frac\pi2+k\pi$.

g) $\sin(x+\frac\pi6)\ge\frac{\sqrt3}{2}$.

h) $\cos(x-\frac\pi4)\le-\frac{\sqrt2}{2}$.

i) $\operatorname{tg}(\frac\pi2-x)>\sqrt3$; rozwiązujemy na każdej gałęzi tangensa i odrzucamy punkty, w których wyrażenie nie istnieje.

Sprowadzamy nierówności do przedziałów wartości sinusa, cosinusa lub tangensa; $k\in\mathbb Z$.

a) $2\sin^2x<1\iff|\sin x|<\frac{\sqrt2}{2}$.

b) $4\cos^2x-3\le0\iff|\cos x|\le\frac{\sqrt3}{2}$.

c) $\sin^2x\ge1$ jest możliwe tylko dla $|\sin x|=1$.

d) $\operatorname{tg}^2x\le1\iff|\operatorname{tg}x|\le1$.

e) Iloczyn $\sin x\cos x$ jest dodatni w I i III ćwiartce.

f) $|\cos x|\ge\frac12$.

g) $|\operatorname{tg}x|\le\frac1{\sqrt3}$.

h) $|4\sin x+1|<3\iff-1<\sin x<\frac12$.

i) $|4\cos x-1|>1\iff\cos x<0$ lub $\cos x>\frac12$.

a) Tangens nie istnieje dla $x=\frac\pi2+k\pi$. Ponieważ $|1-\operatorname{tg}x|$ przyjmuje wszystkie wartości z $\langle0;\infty)$, po przesunięciu otrzymujemy $\langle-2;\infty)$.

b) $|\sin x|\in\langle0;1\rangle$, więc $2-3|\sin x|\in\langle-1;2\rangle$.

c) $\sin^2x-\cos^2x+1=2\sin^2x$, zatem zbiorem wartości jest $\langle0;2\rangle$.

d) $3\sin^2x+2\cos^2x=2+\sin^2x$, zatem zbiorem wartości jest $\langle2;3\rangle$.

e) Trzeba wykluczyć punkty, w których tangens nie istnieje, oraz $\operatorname{tg}x=1$. Dla $t\in\mathbb R\setminus\{1\}$ wyrażenie $\frac1{1-t}$ przyjmuje wszystkie wartości niezerowe.

f) Ponieważ $|\sin x|\in\langle0;1\rangle$, mianownik należy do $\langle2;3\rangle$, a funkcja do $\left\langle\frac13;\frac12\right\rangle$.

Równanie $f(x)=m$ ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy $m$ należy do zbioru wartości funkcji.

a) $|\sin x|\in\langle0;1\rangle$, więc $|\sin x|-1\in\langle-1;0\rangle$.

b) $|\cos x|\in\langle0;1\rangle$, więc $3-2|\cos x|\in\langle1;3\rangle$.

c) Na każdej gałęzi $|\operatorname{tg}x|$ przyjmuje wszystkie wartości z $\langle0;\infty)$, więc $|\operatorname{tg}x|-4\in\langle-4;\infty)$.